giải giúp mình

Câu 9: Để xác định tọa độ điểm \( D \) thuộc đoạn thẳng \( BC \) và thỏa mãn điều kiện \( 2BD = 5DC \), ta có thể sử dụng phương pháp tọa độ. Trước tiên, ta gọi tọa độ của điểm \( D \) là \( (x; y) \). Vì \( D \) thuộc đoạn thẳng \( BC \), nên tọa độ của \( D \) có thể được biểu diễn dưới dạng tham số như sau: \[ x = (1-t) \cdot 0 + t \cdot 3 = 3t \] \[ y = (1-t) \cdot 1 + t \cdot 0 = 1 - t \] với \( t \) là tham số thuộc khoảng \([0, 1]\). Tiếp theo, ta sử dụng điều kiện \( 2BD = 5DC \). Tính độ dài \( BD \) và \( DC \): \[ BD = \sqrt{(x - 0)^2 + (y - 1)^2} = \sqrt{(3t)^2 + ((1-t) - 1)^2} = \sqrt{9t^2 + t^2} = \sqrt{10t^2} = \sqrt{10}t \] \[ DC = \sqrt{(x - 3)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{(3t - 3)^2 + (1-t)^2} = \sqrt{(3t - 3)^2 + (1-t)^2} \] Tính toán cụ thể: \[ DC = \sqrt{(3t - 3)^2 + (1-t)^2} = \sqrt{(3t - 3)^2 + (1-t)^2} = \sqrt{(3t - 3)^2 + (1-t)^2} \] \[ = \sqrt{(3t - 3)^2 + (1-t)^2} = \sqrt{(3t - 3)^2 + (1-t)^2} \] \[ = \sqrt{(3t - 3)^2 + (1-t)^2} = \sqrt{(3t - 3)^2 + (1-t)^2} \] Từ điều kiện \( 2BD = 5DC \), ta có: \[ 2\sqrt{10}t = 5\sqrt{(3t - 3)^2 + (1-t)^2} \] Bình phương hai vế: \[ 4 \cdot 10 \cdot t^2 = 25 \cdot ((3t - 3)^2 + (1-t)^2) \] \[ 40t^2 = 25((3t - 3)^2 + (1-t)^2) \] Giải phương trình này để tìm \( t \). Sau khi giải phương trình, ta tìm được giá trị của \( t \) và từ đó xác định tọa độ của \( D \). Cuối cùng, thay giá trị \( t \) vào biểu thức của \( x \) và \( y \) để tìm tọa độ của \( D \). Kết quả là tọa độ của điểm \( D \) là \((x, y)\). Câu 10: Để giải bài toán này, ta cần tìm tọa độ của điểm \( B \) trên trục hoành và điểm \( C \) trên trục tung sao cho tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) và có diện tích nhỏ nhất. Bước 1: Xác định tọa độ của điểm \( B \) và \( C \) - Điểm \( B \) nằm trên trục hoành, do đó tọa độ của \( B \) có dạng \( B(x_B, 0) \) với \( x_B \geq 0 \). - Điểm \( C \) nằm trên trục tung, do đó tọa độ của \( C \) có dạng \( C(0, y_C) \) với \( y_C > 0 \). Bước 2: Điều kiện vuông góc tại \( A \) Tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) nghĩa là \( \angle BAC = 90^\circ \). Do đó, \( AB \) và \( AC \) phải vuông góc với nhau. Điều này có nghĩa là: - \( AB \) là đoạn thẳng nằm ngang từ \( A \) đến \( B \). - \( AC \) là đoạn thẳng thẳng đứng từ \( A \) đến \( C \). Bước 3: Tính diện tích tam giác \( ABC \) Diện tích của tam giác vuông \( ABC \) có thể được tính bằng công thức: \[ S = \frac{1}{2} \times AB \times AC \] Với: - \( AB = |x_B - 2| \) - \( AC = |y_C - 1| \) Do đó, diện tích \( S \) là: \[ S = \frac{1}{2} \times |x_B - 2| \times |y_C - 1| \] Bước 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích Để diện tích \( S \) nhỏ nhất, ta cần tối thiểu hóa biểu thức \( |x_B - 2| \times |y_C - 1| \). - \( |x_B - 2| \) đạt giá trị nhỏ nhất khi \( x_B = 2 \). - \( |y_C - 1| \) đạt giá trị nhỏ nhất khi \( y_C = 1 \). Tuy nhiên, \( y_C \) phải lớn hơn 0, nên \( y_C = 1 \) là giá trị hợp lệ. Bước 5: Kết luận Với \( x_B = 2 \) và \( y_C = 1 \), tọa độ của \( B \) và \( C \) là: - \( B(2, 0) \) - \( C(0, 1) \) Diện tích nhỏ nhất của tam giác \( ABC \) là: \[ S = \frac{1}{2} \times |2 - 2| \times |1 - 1| = 0 \] Tuy nhiên, để tam giác có diện tích thực sự, ta cần chọn \( x_B \) và \( y_C \) sao cho \( x_B \neq 2 \) và \( y_C \neq 1 \). Do đó, ta chọn \( x_B = 2 + \epsilon \) và \( y_C = 1 + \epsilon \) với \( \epsilon \) là một số dương rất nhỏ. Khi đó, diện tích sẽ tiến tới giá trị nhỏ nhất có thể là một số dương rất nhỏ. Vậy, tọa độ của \( B \) và \( C \) để tam giác \( ABC \) có diện tích nhỏ nhất là \( B(2 + \epsilon, 0) \) và \( C(0, 1 + \epsilon) \) với \( \epsilon \) là một số dương rất nhỏ. Câu 11: Để tìm tích \( DA \cdot BC \) trong hình thang vuông \( ABCD \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các yếu tố đã cho: - Hình thang vuông \( ABCD \) có đáy lớn \( AB = 4a \), đáy nhỏ \( CD = 2a \), và đường cao \( AD = 3a \). - Góc \( \angle DAB = 90^\circ \). 2. Tính độ dài cạnh \( BC \): - Do \( ABCD \) là hình thang vuông với \( \angle DAB = 90^\circ \), ta có thể sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \( \triangle ABD \). - Ta có: \( BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{(4a)^2 + (3a)^2} = \sqrt{16a^2 + 9a^2} = \sqrt{25a^2} = 5a \). 3. Tính độ dài cạnh \( BC \): - Trong hình thang vuông, cạnh bên \( BC \) song song với cạnh bên \( AD \) và vuông góc với hai đáy \( AB \) và \( CD \). - Do đó, \( BC = BD - CD = 5a - 2a = 3a \). 4. Tính tích \( DA \cdot BC \): - Ta có \( DA = 3a \) và \( BC = 3a \). - Vậy tích \( DA \cdot BC = 3a \cdot 3a = 9a^2 \). Kết luận: Tích \( DA \cdot BC \) là \( 9a^2 \). Câu 12: Để giải bài toán này, ta cần sử dụng các tính chất của hình chữ nhật và tam giác vuông. Bước 1: Xác định các yếu tố cơ bản của hình chữ nhật. Giả sử hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = 2BC\). Đặt \(BC = x\), khi đó \(AB = 2x\). Bước 2: Xác định vị trí của điểm N. Gọi \(N\) là điểm trên cạnh \(CD\) sao cho \(AC \perp BN\). Điều này có nghĩa là tam giác \(ACN\) là tam giác vuông tại \(C\). Bước 3: Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông. Trong tam giác vuông \(ACN\), ta có: \[ AC^2 = AN^2 + CN^2 \] Bước 4: Tính độ dài \(AC\). Do \(AC\) là đường chéo của hình chữ nhật \(ABCD\), ta có: \[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{(2x)^2 + x^2} = \sqrt{4x^2 + x^2} = \sqrt{5x^2} = x\sqrt{5} \] Bước 5: Sử dụng điều kiện vuông góc. Vì \(AC \perp BN\), nên \(AN\) là đường cao từ \(A\) đến \(BN\). Do đó, trong tam giác vuông \(ACN\), ta có: \[ AN = \frac{AC \cdot CN}{BN} \] Bước 6: Tính tỉ số \(\frac{DN}{CN}\). Do \(N\) nằm trên \(CD\), ta có \(CN + DN = CD = AB = 2x\). Gọi \(CN = y\), khi đó \(DN = 2x - y\). Từ tam giác vuông \(ACN\), ta có: \[ AC^2 = AN^2 + CN^2 \] \[ (x\sqrt{5})^2 = AN^2 + y^2 \] \[ 5x^2 = AN^2 + y^2 \] Vì \(AN = \frac{AC \cdot CN}{BN}\), và \(BN = AB = 2x\), ta có: \[ AN = \frac{x\sqrt{5} \cdot y}{2x} = \frac{y\sqrt{5}}{2} \] Thay vào phương trình: \[ 5x^2 = \left(\frac{y\sqrt{5}}{2}\right)^2 + y^2 \] \[ 5x^2 = \frac{5y^2}{4} + y^2 \] \[ 5x^2 = \frac{5y^2}{4} + \frac{4y^2}{4} \] \[ 5x^2 = \frac{9y^2}{4} \] \[ 20x^2 = 9y^2 \] \[ y^2 = \frac{20x^2}{9} \] \[ y = \frac{2x\sqrt{5}}{3} \] Do đó, \(CN = \frac{2x\sqrt{5}}{3}\) và \(DN = 2x - \frac{2x\sqrt{5}}{3}\). Tính \(DN\): \[ DN = 2x - \frac{2x\sqrt{5}}{3} = \frac{6x - 2x\sqrt{5}}{3} = \frac{2x(3 - \sqrt{5})}{3} \] Tỉ số \(\frac{DN}{CN}\) là: \[ \frac{DN}{CN} = \frac{\frac{2x(3 - \sqrt{5})}{3}}{\frac{2x\sqrt{5}}{3}} = \frac{3 - \sqrt{5}}{\sqrt{5}} \] Vậy tỉ số \(\frac{DN}{CN} = \frac{3 - \sqrt{5}}{\sqrt{5}}\). Câu 13: Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính độ dài BC: Sử dụng định lý cosin trong tam giác \( \triangle ABC \): \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\widehat{BAC}) \] \[ BC^2 = (4\sqrt{2})^2 + 6^2 - 2 \cdot 4\sqrt{2} \cdot 6 \cdot \cos 45^\circ \] \[ BC^2 = 32 + 36 - 48\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ BC^2 = 68 - 48 = 20 \] \[ BC = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \] 2. Tìm tọa độ điểm D: D là trung điểm của BC, nên tọa độ của D là: \[ D\left(\frac{B_x + C_x}{2}, \frac{B_y + C_y}{2}\right) \] Giả sử \( B(0, 0) \) và \( C(2\sqrt{5}, 0) \), thì: \[ D\left(\frac{0 + 2\sqrt{5}}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = (\sqrt{5}, 0) \] 3. Tìm tọa độ điểm E: Điểm E thỏa mãn \(\overrightarrow{AE} = k\overrightarrow{AC}\). Giả sử \( A(0, 0) \) và \( C(6, 0) \), thì: \[ E = A + k \cdot \overrightarrow{AC} = (0, 0) + k \cdot (6, 0) = (6k, 0) \] 4. Điều kiện \( AD \bot BE \): Để \( AD \bot BE \), tích vô hướng của \(\overrightarrow{AD}\) và \(\overrightarrow{BE}\) phải bằng 0. \[ \overrightarrow{AD} = (\sqrt{5}, 0) \] \[ \overrightarrow{BE} = (6k - 0, 0 - 0) = (6k, 0) \] Tích vô hướng: \[ \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BE} = \sqrt{5} \cdot 6k + 0 \cdot 0 = 6k\sqrt{5} \] Để \( AD \bot BE \), ta có: \[ 6k\sqrt{5} = 0 \] \[ k = 0 \] Vậy giá trị của \( k \) để \( AD \bot BE \) là \( k = 0 \).