Cho parabol (P) : y2 =12x có tiêu điểm F . Tìm hai điểm A , B trên (P) sao cho tam giác OAB có trực tâm là F.

Question

Timi · Accepted Answer

Để giải bài toán này, ta cần tìm hai điểm $ A $ và $ B $ trên parabol $ (P): y^2 = 12x $ sao cho tam giác $ OAB $ có trực tâm là tiêu điểm $ F $ của parabol.

Bước 1: Xác định tiêu điểm $ F $ của parabol

Parabol có dạng $ y^2 = 4px $ với $ 4p = 12 $, do đó $ p = 3 $. Tiêu điểm $ F $ của parabol có tọa độ $ (p, 0) = (3, 0) $.

Bước 2: Tìm điều kiện để $ F $ là trực tâm của tam giác $ OAB $

Trực tâm của tam giác $ OAB $ là giao điểm của ba đường cao. Do đó, $ F $ phải nằm trên ba đường cao của tam giác $ OAB $.

Bước 3: Xác định tọa độ của $ A $ và $ B $ trên parabol

Giả sử $ A(a, b) $ và $ B(c, d) $ là hai điểm trên parabol $ (P) $. Do đó, $ b^2 = 12a $ và $ d^2 = 12c $.

Bước 4: Thiết lập phương trình đường cao

- Đường cao từ $ O(0, 0) $ đến $ AB $ có phương trình: $ y = -\frac{d}{c}x $.
- Đường cao từ $ A(a, b) $ đến $ OB $ có phương trình: $ y - b = \frac{a}{b}(x - a) $.
- Đường cao từ $ B(c, d) $ đến $ OA $ có phương trình: $ y - d = \frac{c}{d}(x - c) $.

Bước 5: Điều kiện để $ F(3, 0) $ nằm trên các đường cao

- $ F(3, 0) $ nằm trên đường cao từ $ O $ đến $ AB $: $ 0 = -\frac{d}{c} \cdot 3 \Rightarrow d = 0 $.
- $ F(3, 0) $ nằm trên đường cao từ $ A $ đến $ OB $: $ 0 - b = \frac{a}{b}(3 - a) $.
- $ F(3, 0) $ nằm trên đường cao từ $ B $ đến $ OA $: $ 0 - d = \frac{c}{d}(3 - c) $.

Bước 6: Giải hệ phương trình

Từ điều kiện $ d = 0 $, ta có $ B(c, 0) $ và $ c = \frac{d^2}{12} = 0 $.

Từ điều kiện $ b^2 = 12a $ và phương trình đường cao từ $ A $ đến $ OB $, ta có:
$$ 0 - b = \frac{a}{b}(3 - a) \Rightarrow b^2 = a(3 - a) $$
Thay $ b^2 = 12a $ vào, ta có:
$$ 12a = a(3 - a) \Rightarrow 12a = 3a - a^2 \Rightarrow a^2 - 9a = 0 $$
$$ a(a - 9) = 0 \Rightarrow a = 0 \text{ hoặc } a = 9 $$

- Nếu $ a = 0 $, thì $ b = 0 $, điểm $ A(0, 0) $ trùng với $ O $, không thỏa mãn.
- Nếu $ a = 9 $, thì $ b^2 = 12 \times 9 = 108 \Rightarrow b = \pm \sqrt{108} = \pm 6\sqrt{3} $.

Vậy hai điểm $ A(9, 6\sqrt{3}) $ và $ A(9, -6\sqrt{3}) $ thỏa mãn điều kiện.

Kết luận:

Hai điểm $ A(9, 6\sqrt{3}) $ và $ B(0, 0) $ hoặc $ A(9, -6\sqrt{3}) $ và $ B(0, 0) $ trên parabol $ (P) $ sao cho tam giác $ OAB $ có trực tâm là tiêu điểm $ F(3, 0) $.