Cho ABC  cân tại A, kẻ AH vuông góc với BC Gọi N là trung điểm AC .
a) Chứng minh: tam giác ABH = tam giác ACH .
b) Hai đoạn thẳng BN và AH cắt nhau tại G, trên tia đối của tia NB lấy K sao cho NK = NG
Chứng minh AG // CK.
c) Chứng minh G là trung điểm của BK .
d) Gọi M là trung điểm của AH Chứng minh: BC+AG4GM .

Question

Cho ABC  cân tại A, kẻ AH vuông góc với  BC Gọi N là trung điểm AC . 
a) Chứng minh: tam giác ABH = tam giác  ACH  . 
b) Hai đoạn thẳng BN và AH cắt nhau tại G, trên tia đối của tia NB lấy K sao cho NK = NG 
Chứng minh AG // CK. 
c) Chứng minh G là trung điểm của BK . 
d) Gọi M là trung điểm của AH Chứng minh: BC+AG>4GM .

𝙥é 𝙢ư𝙖 ᶻ 𝗓 𐰁 .ᐟ · Accepted Answer

a) Chứng minh: tam giác ABH = tam giác ACH.

Xét tam giác ABH và tam giác ACH có:

AB = AC (tam giác ABC cân tại A)

AH là cạnh chung

$\angle$AHB = $\angle$AHC = 90° (AH vuông góc với BC)

Vậy tam giác ABH = tam giác ACH (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

b) Hai đoạn thẳng BN và AH cắt nhau tại G, trên tia đối của tia NB lấy K sao cho NK = NG. Chứng minh AG // CK.

Ta có N là trung điểm của AC (gt) => BN là đường trung tuyến của tam giác ABC.

G là giao điểm của BN và AH => G là trọng tâm của tam giác ABC.

=> AG = 2/3 AH (tính chất trọng tâm).

Gọi I là trung điểm của CK. Xét tam giác NCK có:

NK = NG (gt)

NI là đường trung tuyến (I là trung điểm CK)

=> GI // CK (tính chất đường trung bình).

Mà G là trọng tâm tam giác ABC => G nằm trên đường trung tuyến BN.

=> AG // CK.

c) Chứng minh G là trung điểm của BK.

Vì NK = NG (gt) và G nằm trên đoạn thẳng BK => G là trung điểm của BK.

d) Gọi M là trung điểm của AH. Chứng minh: BC + AG > 4GM.

Ta có M là trung điểm của AH (gt) => AM = MH = 1/2 AH.

GM = AG - AM = 2/3 AH - 1/2 AH = 1/6 AH.

=> 4GM = 4 * (1/6 AH) = 2/3 AH.

Trong tam giác AHC vuông tại H, ta có: AC > HC (cạnh huyền lớn hơn cạnh góc vuông).

Mà AC = AB (tam giác ABC cân tại A) và HC = 1/2 BC (AH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến trong tam giác cân ABC)

=> AB > 1/2 BC => 2AB > BC.

Xét tam giác AHB vuông tại H, ta có: AB > AH (cạnh huyền lớn hơn cạnh góc vuông).

=> BC + AG < 2AB + 2/3 AH < 2AB + 2/3 AB = 8/3 AB.

Do đó, BC + AG > 4GM.

Timi · Answer

a) Ta có:
- AB = AC (vì ABC là tam giác cân tại A)
- AH chung
- $\widehat{AHB} = \widehat{AHC} = 90^\circ$ (vì AH vuông góc với BC)

Do đó, theo trường hợp bằng nhau thứ 2 (cạnh huyền và cạnh góc vuông), ta có:
$	riangle ABH = 	riangle ACH$

b) Ta có:
- $	riangle ABH = 	riangle ACH$ (chứng minh ở phần a)
- Do đó, $\widehat{ABH} = \widehat{ACH}$

Lại có:
- $\widehat{ABH} = \widehat{CBK}$ (hai góc đối đỉnh)
- $\widehat{ACH} = \widehat{ACK}$ (vì N là trung điểm của AC nên NK = NG)

Do đó, $\widehat{CBK} = \widehat{ACK}$

Mặt khác, ta có:
- $\widehat{BGC} = \widehat{AKC}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó, $	riangle BGC$ và $	riangle AKC$ có:
- $\widehat{CBK} = \widehat{ACK}$
- $\widehat{BGC} = \widehat{AKC}$

Theo trường hợp bằng nhau thứ 3 (góc và cạnh kẹp), ta có:
$	riangle BGC = 	riangle AKC$

Do đó, $\widehat{BCG} = \widehat{CAK}$

Mặt khác, ta có:
- $\widehat{BCG} = \widehat{GAC}$ (hai góc so le trong)

Do đó, $\widehat{GAC} = \widehat{CAK}$

Vậy AG // CK (vì hai góc so le trong bằng nhau)

c) Ta có:
- $	riangle BGC = 	riangle AKC$ (chứng minh ở phần b)
- Do đó, BG = AK

Mặt khác, ta có:
- NK = NG (theo đề bài)
- Do đó, BK = BG + GK = AK + GK = 2NG

Vậy G là trung điểm của BK

d) Ta có:
- M là trung điểm của AH (theo đề bài)
- G là trung điểm của BK (chứng minh ở phần c)

Do đó, GM là đường trung bình của tam giác ABH, tức là:
$GM = \frac{1}{2}BH$

Ta lại có:
- $	riangle ABH = 	riangle ACH$ (chứng minh ở phần a)
- Do đó, BH = CH

Vậy:
$BC = BH + CH = 2BH$

Do đó:
$BC + AG > 4GM$
$2BH + AG > 4 	imes \frac{1}{2}BH$
$2BH + AG > 2BH$

Vậy $BC + AG > 4GM$

Cho ABC  cân tại A, kẻ AH vuông góc với BC Gọi N là trung điểm AC . a) Chứng minh: tam giác ABH = tam giác ACH . b) Hai đoạn thẳng BN và AH cắt nhau tại G, trên tia đối của tia NB lấy K sao cho NK =...