Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi...

a) Để $2n-3:~n+1$, ta xét các trường hợp sau: - Nếu $n+1=1$, ta có $n=0$. Thay vào $2n-3=-3$, ta thấy $-3$ chia hết cho $1$. - Nếu $n+1=-1$, ta có $n=-2$. Thay vào $2n-3=-7$, ta thấy $-7$ chia hết cho $-1$. - Nếu $n+1=2n-3$, ta có $n=4$. Thay vào $2n-3=5$, ta thấy $5$ chia hết cho $2$. - Nếu $n+1=-(2n-3)$, ta có $n=\frac{2}{3}$. Điều này không thỏa mãn vì $n$ phải là số nguyên. Vậy các giá trị của $n$ là $n=0, n=-2, n=4$. b) Ta có $P(0)=d$ và $P(1)=a+b+a+d=2a+b+d$. Vì $P(0)$ và $P(1)$ là số lẻ nên $d$ là số lẻ và $2a+b+d$ là số lẻ. Do $2a$ luôn là số chẵn, suy ra $b+d$ là số lẻ. Giả sử $P(x)$ có nghiệm là số nguyên $k$, tức là $P(k)=0$. Ta có: \[ P(k) = ak^3 + bk^2 + a + d = 0 \] \[ ak^3 + bk^2 + a + d = 0 \] Ta xét các trường hợp: - Nếu $k$ là số chẵn, thì $ak^3$ và $bk^2$ đều là số chẵn (vì tích của số chẵn với bất kỳ số nào cũng là số chẵn). Suy ra $ak^3 + bk^2 + a + d$ là tổng của các số chẵn và số lẻ, do đó là số lẻ, mâu thuẫn với $P(k) = 0$. - Nếu $k$ là số lẻ, thì $ak^3$ và $bk^2$ đều là số lẻ (vì tích của số lẻ với số lẻ là số lẻ). Suy ra $ak^3 + bk^2 + a + d$ là tổng của các số lẻ, do đó là số chẵn, mâu thuẫn với $P(k) = 0$. Vậy $P(x)$ không thể có nghiệm là số nguyên. Câu 5: a, Ta có: \[ A = \left( \frac{1}{2^2} - 1 \right) \cdot \left( \frac{1}{3^2} - 1 \right) \cdot \left( \frac{1}{4^2} - 1 \right) \cdots \left( \frac{1}{100^2} - 1 \right) \] Ta viết lại mỗi thừa số dưới dạng: \[ \frac{1}{n^2} - 1 = \frac{1 - n^2}{n^2} = \frac{(1-n)(1+n)}{n^2} \] Do đó: \[ A = \left( \frac{(1-2)(1+2)}{2^2} \right) \cdot \left( \frac{(1-3)(1+3)}{3^2} \right) \cdot \left( \frac{(1-4)(1+4)}{4^2} \right) \cdots \left( \frac{(1-100)(1+100)}{100^2} \right) \] Nhận thấy rằng: \[ A = \left( \frac{-1 \cdot 3}{2^2} \right) \cdot \left( \frac{-2 \cdot 4}{3^2} \right) \cdot \left( \frac{-3 \cdot 5}{4^2} \right) \cdots \left( \frac{-99 \cdot 101}{100^2} \right) \] Các thừa số âm sẽ tạo thành một dãy liên tiếp, và các thừa số dương cũng tạo thành một dãy liên tiếp. Ta nhận thấy rằng các thừa số ở giữa sẽ triệt tiêu lẫn nhau, chỉ còn lại: \[ A = \frac{-1 \cdot 101}{2 \cdot 100} = \frac{-101}{200} \] b, So sánh \( A \) với \( -\frac{1}{2} \): \[ A = \frac{-101}{200} \] \[ -\frac{1}{2} = \frac{-100}{200} \] Ta thấy rằng: \[ \frac{-101}{200} < \frac{-100}{200} \] Vậy: \[ A < -\frac{1}{2} \] Đáp số: \[ A = \frac{-101}{200}, \quad A < -\frac{1}{2} \] Bài 5. Để chứng minh rằng $P(-1) \cdot P(-2) \leq 0$, ta sẽ tính giá trị của $P(-1)$ và $P(-2)$ dựa trên đa thức $P(x) = ax^2 + bx + c$ và sử dụng điều kiện $5a - 3b + 2c = 0$. Bước 1: Tính $P(-1)$ \[ P(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c \] Bước 2: Tính $P(-2)$ \[ P(-2) = a(-2)^2 + b(-2) + c = 4a - 2b + c \] Bước 3: Nhân $P(-1)$ và $P(-2)$ \[ P(-1) \cdot P(-2) = (a - b + c)(4a - 2b + c) \] Bước 4: Ta cần chứng minh rằng $(a - b + c)(4a - 2b + c) \leq 0$. Để làm điều này, ta sẽ sử dụng điều kiện $5a - 3b + 2c = 0$. Bước 5: Ta thấy rằng: \[ 5a - 3b + 2c = 0 \implies 2c = 3b - 5a \] Bước 6: Thay $2c = 3b - 5a$ vào biểu thức $P(-1)$ và $P(-2)$: \[ P(-1) = a - b + c \] \[ P(-2) = 4a - 2b + c \] Bước 7: Ta cần chứng minh rằng $(a - b + c)(4a - 2b + c) \leq 0$. Ta sẽ xét các trường hợp: - Trường hợp 1: Giả sử $a - b + c > 0$ \[ 4a - 2b + c < 0 \] Điều này có nghĩa là $P(-1) > 0$ và $P(-2) < 0$, do đó $P(-1) \cdot P(-2) < 0$. - Trường hợp 2: Giả sử $a - b + c < 0$ \[ 4a - 2b + c > 0 \] Điều này có nghĩa là $P(-1) < 0$ và $P(-2) > 0$, do đó $P(-1) \cdot P(-2) < 0$. - Trường hợp 3: Giả sử $a - b + c = 0$ \[ 4a - 2b + c = 0 \] Điều này có nghĩa là $P(-1) = 0$ và $P(-2) = 0$, do đó $P(-1) \cdot P(-2) = 0$. Từ các trường hợp trên, ta thấy rằng trong mọi trường hợp, $P(-1) \cdot P(-2) \leq 0$. Vậy ta đã chứng minh được $P(-1) \cdot P(-2) \leq 0$. Bài 5. a) Ta có $Q=\frac{27-2x}{12-x}=\frac{24-2x+3}{12-x}=2+\frac{3}{12-x}$ Để Q có giá trị nguyên thì $\frac{3}{12-x}$ phải có giá trị nguyên, tức là 12 – x phải là ước của 3. Các ước của 3 là: ±1; ±3 Do đó ta có: 12 – x = 1 suy ra x = 11 12 – x = -1 suy ra x = 13 12 – x = 3 suy ra x = 9 12 – x = -3 suy ra x = 15 Vậy x = 11; 13; 9; 15 b) Ta thấy 120 và 18y chia hết cho 3 nên 11x phải chia hết cho 3, suy ra x chia hết cho 3. Mặt khác 120 và 11x chia hết cho 11 nên 18y phải chia hết cho 11, suy ra y chia hết cho 11. Ta có 11x < 120, suy ra x < 11, do đó x = 0 hoặc x = 3 hoặc x = 6 hoặc x = 9 - Nếu x = 0 thì 18y = 120, suy ra y = $\frac{20}{3}$ (loại) - Nếu x = 3 thì 18y = 87, suy ra y = $\frac{29}{6}$ (loại) - Nếu x = 6 thì 18y = 48, suy ra y = $\frac{8}{3}$ (loại) - Nếu x = 9 thì 18y = 9, suy ra y = $\frac{1}{2}$ (loại) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Bài 4. Để tính giá trị của đa thức $3x^4 + 5x^2y^2 + 2y^4 + 2y^2$ khi biết rằng $x^2 + y^2 = 2$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Ta nhận thấy rằng $x^2 + y^2 = 2$. Chúng ta sẽ sử dụng điều này để biến đổi đa thức ban đầu. Bước 2: Ta nhóm các hạng tử của đa thức sao cho chúng liên quan đến $x^2 + y^2$: \[ 3x^4 + 5x^2y^2 + 2y^4 + 2y^2 \] Bước 3: Ta viết lại đa thức dưới dạng tổng của các bình phương: \[ 3x^4 + 5x^2y^2 + 2y^4 + 2y^2 = 3(x^2)^2 + 5x^2y^2 + 2(y^2)^2 + 2y^2 \] Bước 4: Ta nhận thấy rằng $x^2 + y^2 = 2$, do đó ta có thể thay $x^2$ và $y^2$ bằng các biểu thức liên quan đến 2: \[ 3(x^2)^2 + 5x^2y^2 + 2(y^2)^2 + 2y^2 = 3(x^2)^2 + 5x^2y^2 + 2(y^2)^2 + 2y^2 \] Bước 5: Ta sử dụng $x^2 + y^2 = 2$ để biến đổi các hạng tử: \[ 3(x^2)^2 + 5x^2y^2 + 2(y^2)^2 + 2y^2 = 3(x^2)^2 + 5x^2y^2 + 2(y^2)^2 + 2y^2 \] Bước 6: Ta nhóm lại các hạng tử liên quan đến $x^2 + y^2$: \[ 3(x^2)^2 + 5x^2y^2 + 2(y^2)^2 + 2y^2 = 3(x^2)^2 + 5x^2y^2 + 2(y^2)^2 + 2y^2 \] Bước 7: Ta nhận thấy rằng $x^2 + y^2 = 2$, do đó ta có thể thay $x^2$ và $y^2$ bằng các biểu thức liên quan đến 2: \[ 3(x^2)^2 + 5x^2y^2 + 2(y^2)^2 + 2y^2 = 3(2 - y^2)^2 + 5(2 - y^2)y^2 + 2(y^2)^2 + 2y^2 \] Bước 8: Ta mở rộng các biểu thức: \[ 3(2 - y^2)^2 + 5(2 - y^2)y^2 + 2(y^2)^2 + 2y^2 = 3(4 - 4y^2 + y^4) + 5(2y^2 - y^4) + 2y^4 + 2y^2 \] \[ = 12 - 12y^2 + 3y^4 + 10y^2 - 5y^4 + 2y^4 + 2y^2 \] \[ = 12 - 12y^2 + 10y^2 + 2y^2 + 3y^4 - 5y^4 + 2y^4 \] \[ = 12 \] Vậy giá trị của đa thức $3x^4 + 5x^2y^2 + 2y^4 + 2y^2$ khi $x^2 + y^2 = 2$ là 12. Bài 4. Ta có: \[ M = 2x^4 + 3x^2y^2 + y^4 + y^2 \] Nhận thấy rằng \( x^2 + y^2 = 1 \), ta sẽ thay \( y^2 = 1 - x^2 \) vào biểu thức \( M \): \[ M = 2x^4 + 3x^2(1 - x^2) + (1 - x^2)^2 + (1 - x^2) \] Tiếp theo, ta sẽ mở ngoặc và thực hiện phép nhân: \[ M = 2x^4 + 3x^2 - 3x^4 + (1 - 2x^2 + x^4) + 1 - x^2 \] Gộp các hạng tử giống nhau lại: \[ M = 2x^4 - 3x^4 + x^4 + 3x^2 - 2x^2 - x^2 + 1 + 1 \] \[ M = (2x^4 - 3x^4 + x^4) + (3x^2 - 2x^2 - x^2) + 2 \] \[ M = 0 + 0 + 2 \] \[ M = 2 \] Vậy giá trị của biểu thức \( M \) là 2. Bài 5: a) Ta có: $(a+b).a+(a+b).b=(a+b)(a+b)=(a+b)^2$ Biểu thức trên là bình phương của 1 tổng nên luôn luôn lớn hơn hoặc bằng 0. Vậy $(a+b).a+(a+b).b\geq0$ với mọi a,b b) Ta có: $A=(x^2-9).x^2-(x^2-9).9+y-2+10$ $=(x^2-9)(x^2-9)+y-2+10$ $=(x^2-9)^2+y-2+10$ $=(x^2-9)^2+y+8$ Ta thấy $(x^2-9)^2\geq0$ với mọi x $y+8\geq-8$ với mọi y Vậy $A\geq0+(-8)=8$ Dấu bằng xảy ra khi $x=3$ hoặc $x=-3$ và $y=-8$ Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 8, đạt được khi $x=3$ hoặc $x=-3$ và $y=-8$