Giải hộ mình câu này với các bạn a) Hãy tìm một phương trình bậc hai $ax^2+bx+c=0$ với các hệ số a,b,c là số nguyên nhận,$x=\frac{\sqrt5-2}3$ làm nghiệm.,b) Tính tổng lập phương hai nghiệm của phương trình vừa tìm được ở câu a)

Question

Timi · Accepted Answer

a) Ta thấy $x=\frac{\sqrt5-2}3$ là số vô tỉ nên phương trình cần tìm sẽ có dạng $ax^2+bx+c=0$ với $a$, $b$, $c$ là số nguyên và $a \neq 0$.

Ta có:
$$ x = \frac{\sqrt{5} - 2}{3} $$

Nhân cả hai vế với 3:
$$ 3x = \sqrt{5} - 2 $$

Cộng 2 vào cả hai vế:
$$ 3x + 2 = \sqrt{5} $$

平方两边：
$$ (3x + 2)^2 = (\sqrt{5})^2 $$
$$ 9x^2 + 12x + 4 = 5 $$

移项并整理：
$$ 9x^2 + 12x + 4 - 5 = 0 $$
$$ 9x^2 + 12x - 1 = 0 $$

因此，所求的二次方程为：
$$ 9x^2 + 12x - 1 = 0 $$

b) 设该二次方程的两个根为 $ x_1 $ 和 $ x_2 $，根据韦达定理，我们有：
$$ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{12}{9} = -\frac{4}{3} $$
$$ x_1 x_2 = \frac{c}{a} = -\frac{1}{9} $$

我们需要计算 $ x_1^3 + x_2^3 $。利用立方和公式：
$$ x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1 x_2 + x_2^2) $$

首先计算 $ x_1^2 + x_2^2 $：
$$ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 $$
$$ x_1^2 + x_2^2 = \left(-\frac{4}{3}\right)^2 - 2 \left(-\frac{1}{9}\right) $$
$$ x_1^2 + x_2^2 = \frac{16}{9} + \frac{2}{9} $$
$$ x_1^2 + x_2^2 = \frac{18}{9} $$
$$ x_1^2 + x_2^2 = 2 $$

然后计算 $ x_1^2 - x_1 x_2 + x_2^2 $：
$$ x_1^2 - x_1 x_2 + x_2^2 = x_1^2 + x_2^2 - x_1 x_2 $$
$$ x_1^2 - x_1 x_2 + x_2^2 = 2 - \left(-\frac{1}{9}\right) $$
$$ x_1^2 - x_1 x_2 + x_2^2 = 2 + \frac{1}{9} $$
$$ x_1^2 - x_1 x_2 + x_2^2 = \frac{18}{9} + \frac{1}{9} $$
$$ x_1^2 - x_1 x_2 + x_2^2 = \frac{19}{9} $$

最后计算 $ x_1^3 + x_2^3 $：
$$ x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1 x_2 + x_2^2) $$
$$ x_1^3 + x_2^3 = \left(-\frac{4}{3}\right) \left(\frac{19}{9}\right) $$
$$ x_1^3 + x_2^3 = -\frac{4 \times 19}{3 \times 9} $$
$$ x_1^3 + x_2^3 = -\frac{76}{27} $$

因此，两个根的立方和为：
$$ x_1^3 + x_2^3 = -\frac{76}{27} $$