Cho tam giác nhọn ABC AB bé hơn AC có đường cao AD Gọi N P lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ D đến AB và AC. Chứng minh 4 điểm A, D, N, T cùng thuộc một đường tròn. đường thẳng d song song với AB cắt NP tại E Chứng minh góc DNT = góc DAT và DN.DC = DE.DA. chứng minh CE vuông góc với AB

Question

Timi · Accepted Answer

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một theo yêu cầu của đề bài.

Bước 1: Chứng minh 4 điểm A, D, N, P cùng thuộc một đường tròn

- Ta có $AD$ là đường cao hạ từ đỉnh $A$ xuống cạnh $BC$, do đó $AD \perp BC$.
- $DN \perp AB$ và $DP \perp AC$.

Do đó, tứ giác $ANDP$ có ba góc vuông ($ \angle AND = 90^\circ$, $ \angle ADP = 90^\circ$, $ \angle DNP = 90^\circ$). Theo tính chất của tứ giác nội tiếp, nếu một tứ giác có ba góc vuông thì nó nội tiếp được trong một đường tròn. Vậy 4 điểm $A$, $D$, $N$, $P$ cùng thuộc một đường tròn.

Bước 2: Chứng minh $\angle DNT = \angle DAT$

- Vì $A$, $D$, $N$, $P$ cùng thuộc một đường tròn, nên $\angle DNT$ và $\angle DAT$ là hai góc nội tiếp cùng chắn cung $DT$. Do đó, $\angle DNT = \angle DAT$.

Bước 3: Chứng minh $DN \cdot DC = DE \cdot DA$

- Ta có $d \parallel AB$, do đó $\angle DEN = \angle DAN$ (góc so le trong).
- Xét tam giác $DEN$ và tam giác $DAN$:
  - $\angle DEN = \angle DAN$ (chứng minh ở trên).
  - $\angle DNE = \angle DNA = 90^\circ$ (vì $DN \perp AB$).

Do đó, tam giác $DEN$ và tam giác $DAN$ đồng dạng theo trường hợp góc - góc ($ \angle DEN = \angle DAN $ và $ \angle DNE = \angle DNA $). Từ đó ta có tỉ lệ:
$$ \frac{DE}{DA} = \frac{DN}{DC} $$
Nhân cả hai vế với $DA \cdot DC$, ta được:
$$ DE \cdot DC = DN \cdot DA $$

Bước 4: Chứng minh $CE \perp AB$

- Ta đã biết $d \parallel AB$, do đó $ \angle CED = \angle CAB $ (góc so le trong).
- Xét tam giác $CED$ và tam giác $CAD$:
  - $\angle CED = \angle CAD$ (chứng minh ở trên).
  - $\angle CDE = \angle CDA = 90^\circ$ (vì $CD \perp AB$).

Do đó, tam giác $CED$ và tam giác $CAD$ đồng dạng theo trường hợp góc - góc ($ \angle CED = \angle CAD $ và $ \angle CDE = \angle CDA $). Từ đó ta có:
$$ \angle CED = \angle CAD $$
Vì $ \angle CED = \angle CAD $ và $ \angle CDE = 90^\circ $, nên $CE \perp AB$.

Kết luận:
- 4 điểm $A$, $D$, $N$, $P$ cùng thuộc một đường tròn.
- $\angle DNT = \angle DAT$.
- $DN \cdot DC = DE \cdot DA$.
- $CE \perp AB$.

Cho tam giác nhọn ABC AB bé hơn AC có đường cao AD Gọi N P lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ D đến AB và AC. Chứng minh 4 điểm A, D, N, T cùng thuộc một đường tròn. đường thẳng d song song với AB...