Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỉ với một số vô tỉ là một số vô tỉ.

Giả sử số hữu tỉ là \( \frac{a}{b} \) với \( a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0 \) và số vô tỉ là \( c \). Giả sử tổng của số hữu tỉ và số vô tỉ là một số hữu tỉ, tức là \( \frac{a}{b} + c = \frac{d}{e} \) với \( d, e \in \mathbb{Z}, e \neq 0 \). Từ giả thiết trên, ta có: \[ c = \frac{d}{e} - \frac{a}{b} \] Ta biết rằng hiệu của hai số hữu tỉ cũng là một số hữu tỉ, do đó \( \frac{d}{e} - \frac{a}{b} \) là một số hữu tỉ. Như vậy, \( c \) sẽ là một số hữu tỉ, điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu rằng \( c \) là một số vô tỉ. Do đó, giả sử ban đầu là sai, nghĩa là tổng của một số hữu tỉ và một số vô tỉ phải là một số vô tỉ. Vậy, tổng của một số hữu tỉ với một số vô tỉ là một số vô tỉ.