Cho $n$ là số tự nhiên lớn hơn 1. CMR: $n^4+4^n$ là hợp số.

Bùi Ngọc Diễm

$n$ là số tự nhiên lớn hơn 1 nên $n$ có dạng $2k$ hoặc $2k+1$ ($k$ ∈ $N$*)

Với $n=2k$ ta có: $n^4+4^n=\left(2k\right)^4+4^{2k}$ (lớn hơn 2 và chia hết cho 2)

Với $n=2k+1$ ta có:

$n^4+4^n=n^4+4^{2k}.4$

$=n^4+\left(2.4^k\right)^2=\left(n^2+2.4^k\right)^2-\left(2.n.2^k\right)^2$

$=\left(n^2+2.4^k-2.n.2^k\right)\left(n^2+2.4^k+2.n.2^k\right)$

$=\left\lbrack\left(n-2^k\right)^2+4^k\right\rbrack\left\lbrack\left(n+2^k\right)^2+4^k\right\rbrack$

Vậy $n^4+4^n$ là hợp số với mọi $n$ là số tự nhiên lớn hơn 1.