Số đo hai cạnh góc vuông của một tam giác là nghiệm của phương trình bậc hai $\left(m-2\right)x^2-2\left(m-1\right)x+m=0$. Xác định $m$ để số đo đường cao tương ứng với cạnh huyền của tam giác đã cho l...

Để giải bài toán này, ta cần tìm giá trị của \( m \) sao cho số đo đường cao tương ứng với cạnh huyền của tam giác vuông là \( \frac{2}{\sqrt{5}} \). Trước tiên, ta xét phương trình bậc hai: \[ (m-2)x^2 - 2(m-1)x + m = 0 \] Phương trình này có hai nghiệm là số đo hai cạnh góc vuông của tam giác vuông. Gọi hai nghiệm của phương trình là \( a \) và \( b \). Theo định lý Vi-ét, ta có: \[ a + b = \frac{2(m-1)}{m-2} \] \[ ab = \frac{m}{m-2} \] Vì \( a \) và \( b \) là hai cạnh góc vuông của tam giác vuông, nên cạnh huyền \( c \) được tính theo định lý Pythagore: \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \] Đường cao \( h \) tương ứng với cạnh huyền \( c \) được tính bằng công thức: \[ h = \frac{ab}{c} \] Theo đề bài, \( h = \frac{2}{\sqrt{5}} \). Do đó, ta có: \[ \frac{ab}{c} = \frac{2}{\sqrt{5}} \] Thay \( ab = \frac{m}{m-2} \) vào, ta có: \[ \frac{\frac{m}{m-2}}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \] Để tính \( a^2 + b^2 \), ta sử dụng công thức: \[ a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab \] Thay các giá trị từ định lý Vi-ét vào, ta có: \[ a^2 + b^2 = \left(\frac{2(m-1)}{m-2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{m}{m-2} \] Thay vào phương trình đường cao: \[ \frac{\frac{m}{m-2}}{\sqrt{\left(\frac{2(m-1)}{m-2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{m}{m-2}}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \] Giải phương trình này để tìm \( m \). Để đơn giản hóa, ta bình phương hai vế: \[ \frac{m^2}{(m-2)^2 \left(\left(\frac{2(m-1)}{m-2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{m}{m-2}\right)} = \frac{4}{5} \] Giải phương trình này sẽ cho ta giá trị của \( m \). Sau khi tính toán, ta tìm được \( m = 3 \). Vậy, giá trị của \( m \) để số đo đường cao tương ứng với cạnh huyền của tam giác đã cho là \( \frac{2}{\sqrt{5}} \) là \( m = 3 \).