Cho △MNP vuông tại P có NP>MP. Tia phân giác góc PMN cắt NP tại Q. kẻ QD vuông góc với MN(D thuộc MN), NF vuông góc với MQ(F thuộc MQ). Chứng minh rằng: a)△MPQ=△MDQ b)QN>QP c) Ba đường NF, DQ, MP đồn...

a) Ta có: - \(\widehat{PMQ}=\widehat{DMQ}\) (vì MQ là tia phân giác của \(\widehat{PMN}\)) - \(\widehat{MPQ}=\widehat{MDQ}=90^\circ\) (vì QD vuông góc với MN) - MQ chung Do đó, \(\triangle MPQ = \triangle MDQ\) (góc - cạnh - góc) b) Ta có: - \(\widehat{PQM}=\widehat{DQM}\) (vì MQ là tia phân giác của \(\widehat{PMN}\)) - \(\widehat{MPQ}=\widehat{MDQ}=90^\circ\) (vì QD vuông góc với MN) - MQ chung Do đó, \(\triangle MPQ = \triangle MDQ\) (góc - cạnh - góc) Từ đó ta có PQ = DQ (hai cạnh tương ứng bằng nhau) Ta cũng có: - \(\widehat{NMQ}=\widehat{DMQ}\) (vì MQ là tia phân giác của \(\widehat{PMN}\)) - \(\widehat{NQM}=\widehat{DQM}\) (vì QD vuông góc với MN) - MQ chung Do đó, \(\triangle NMQ = \triangle DMQ\) (góc - cạnh - góc) Từ đó ta có NQ = DQ (hai cạnh tương ứng bằng nhau) Vậy NQ = DQ = PQ Nhưng ta đã biết NP > MP nên NQ > PQ c) Ta có: - \(\widehat{NFQ}=\widehat{NFP}=90^\circ\) (vì NF vuông góc với MQ) - \(\widehat{FQN}=\widehat{FQP}\) (vì MQ là tia phân giác của \(\widehat{PMN}\)) Do đó, \(\triangle NFQ = \triangle NFP\) (góc - cạnh - góc) Từ đó ta có FQ = FP (hai cạnh tương ứng bằng nhau) Ta cũng có: - \(\widehat{DFQ}=\widehat{DPQ}=90^\circ\) (vì QD vuông góc với MN) - \(\widehat{FQD}=\widehat{PQD}\) (vì MQ là tia phân giác của \(\widehat{PMN}\)) Do đó, \(\triangle DFQ = \triangle DPQ\) (góc - cạnh - góc) Từ đó ta có FQ = PQ (hai cạnh tương ứng bằng nhau) Vậy FQ = FP = PQ Như vậy, ba đường thẳng NF, DQ, MP đồng quy tại điểm F.