(/₫(!/dhs dn

Câu 1. Để phương trình $\sqrt{2x^2 + mx + 5} - x = 3$ có đúng một nghiệm, ta thực hiện các bước sau: 1. Điều kiện xác định (ĐKXĐ): Ta cần đảm bảo rằng biểu thức dưới dấu căn không âm: \[ 2x^2 + mx + 5 \geq 0 \] 2. Biến đổi phương trình: \[ \sqrt{2x^2 + mx + 5} = x + 3 \] Đặt $y = x + 3$, suy ra $x = y - 3$. Thay vào phương trình: \[ \sqrt{2(y-3)^2 + m(y-3) + 5} = y \] Biến đổi: \[ \sqrt{2(y^2 - 6y + 9) + my - 3m + 5} = y \] \[ \sqrt{2y^2 - 12y + 18 + my - 3m + 5} = y \] \[ \sqrt{2y^2 + (m-12)y + 23 - 3m} = y \] Bình phương hai vế: \[ 2y^2 + (m-12)y + 23 - 3m = y^2 \] \[ y^2 + (m-12)y + 23 - 3m = 0 \] 3. Phương trình bậc hai: Phương trình này phải có đúng một nghiệm, tức là phương trình này phải có nghiệm kép. Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm kép là: \[ \Delta = 0 \] Với $\Delta = (m-12)^2 - 4(23 - 3m)$ \[ (m-12)^2 - 4(23 - 3m) = 0 \] \[ m^2 - 24m + 144 - 92 + 12m = 0 \] \[ m^2 - 12m + 52 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ m = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 208}}{2} \] \[ m = \frac{12 \pm \sqrt{-64}}{2} \] Vì $\sqrt{-64}$ là số phức, nên phương trình này vô nghiệm trong tập số thực. Do đó, không tồn tại giá trị của tham số $m$ để phương trình $\sqrt{2x^2 + mx + 5} - x = 3$ có đúng một nghiệm. Đáp số: Không có giá trị của tham số $m$. Câu 2. Để tính diện tích xây dựng Vincom lớn nhất, ta cần tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp trong elip. Ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình của elip: Elip có độ dài trục lớn \(2a = 120\) m, suy ra \(a = 60\) m. Elip có độ dài trục bé \(2b = 90\) m, suy ra \(b = 45\) m. Phương trình của elip là: \[ \frac{x^2}{60^2} + \frac{y^2}{45^2} = 1 \] 2. Xác định tọa độ của đỉnh của hình chữ nhật nội tiếp: Giả sử đỉnh của hình chữ nhật nằm trên elip có tọa độ \((x, y)\). Diện tích của hình chữ nhật nội tiếp là: \[ S = 2x \cdot 2y = 4xy \] Ta cần tối đa hóa \(S = 4xy\). 3. Biểu diễn \(y\) theo \(x\) từ phương trình elip: Từ phương trình elip: \[ \frac{x^2}{60^2} + \frac{y^2}{45^2} = 1 \] Biểu diễn \(y^2\): \[ \frac{y^2}{45^2} = 1 - \frac{x^2}{60^2} \] \[ y^2 = 45^2 \left(1 - \frac{x^2}{60^2}\right) \] \[ y = 45 \sqrt{1 - \frac{x^2}{60^2}} \] 4. Thay \(y\) vào diện tích \(S\): \[ S = 4x \cdot 45 \sqrt{1 - \frac{x^2}{60^2}} = 180x \sqrt{1 - \frac{x^2}{60^2}} \] 5. Tìm giá trị \(x\) để \(S\) lớn nhất: Để tối đa hóa \(S\), ta sử dụng phương pháp đạo hàm (nhưng ở đây ta sẽ sử dụng trực giác và kiến thức cơ bản): - Ta nhận thấy rằng \(S\) sẽ lớn nhất khi \(x\) và \(y\) đều lớn nhất nhưng vẫn thỏa mãn phương trình elip. - Khi \(x = 60 \cos(\theta)\) và \(y = 45 \sin(\theta)\), ta có: \[ S = 4 \cdot 60 \cos(\theta) \cdot 45 \sin(\theta) = 10800 \cos(\theta) \sin(\theta) \] - Biểu thức \(\cos(\theta) \sin(\theta)\) đạt giá trị lớn nhất khi \(\theta = 45^\circ\), tức là \(\cos(45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\). 6. Tính diện tích lớn nhất: \[ S_{max} = 10800 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10800 \cdot \frac{1}{2} = 5400 \text{ m}^2 \] Vậy diện tích xây dựng Vincom lớn nhất là \(5400 \text{ m}^2\).