Bài 1: Thực hiện phép chia đa thức: -3x^2 + 10x^3 - x - 3 + 12x^4 : x + 1 - 3x^2

Bài 1: Để thực hiện phép chia đa thức \(-3x^2 + 10x^3 - x - 3 + 12x^4\) cho \(x + 1 - 3x^2\), ta sẽ thực hiện phép chia từng bước theo phương pháp chia đa thức. Bước 1: Sắp xếp các hạng tử của đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến \(x\): \[12x^4 + 10x^3 - 3x^2 - x - 3\] Bước 2: Chia đa thức \(12x^4 + 10x^3 - 3x^2 - x - 3\) cho \(x + 1 - 3x^2\). Ta thực hiện phép chia từng bước như sau: 1. Chia \(12x^4\) cho \(-3x^2\) để được \(-4x^2\). 2. Nhân \(-4x^2\) với \(x + 1 - 3x^2\) để được \(-4x^2(x + 1 - 3x^2) = -4x^3 - 4x^2 + 12x^4\). 3. Trừ kết quả này từ đa thức ban đầu: \[ (12x^4 + 10x^3 - 3x^2 - x - 3) - (-4x^3 - 4x^2 + 12x^4) = 14x^3 + x^2 - x - 3 \] 4. Chia \(14x^3\) cho \(-3x^2\) để được \(-\frac{14}{3}x\). 5. Nhân \(-\frac{14}{3}x\) với \(x + 1 - 3x^2\) để được \(-\frac{14}{3}x(x + 1 - 3x^2) = -\frac{14}{3}x^2 - \frac{14}{3}x + 14x^3\). 6. Trừ kết quả này từ đa thức còn lại: \[ (14x^3 + x^2 - x - 3) - (-\frac{14}{3}x^2 - \frac{14}{3}x + 14x^3) = \frac{17}{3}x^2 + \frac{11}{3}x - 3 \] 7. Chia \(\frac{17}{3}x^2\) cho \(-3x^2\) để được \(-\frac{17}{9}\). 8. Nhân \(-\frac{17}{9}\) với \(x + 1 - 3x^2\) để được \(-\frac{17}{9}(x + 1 - 3x^2) = -\frac{17}{9}x - \frac{17}{9} + \frac{17}{3}x^2\). 9. Trừ kết quả này từ đa thức còn lại: \[ (\frac{17}{3}x^2 + \frac{11}{3}x - 3) - (-\frac{17}{9}x - \frac{17}{9} + \frac{17}{3}x^2) = \frac{40}{9}x - \frac{10}{9} \] Vậy kết quả của phép chia là: \[ -4x^2 - \frac{14}{3}x - \frac{17}{9} + \frac{\frac{40}{9}x - \frac{10}{9}}{x + 1 - 3x^2} \] Đáp số: \(-4x^2 - \frac{14}{3}x - \frac{17}{9} + \frac{\frac{40}{9}x - \frac{10}{9}}{x + 1 - 3x^2}\)