Giúp mình với!

Câu 1. Để rút gọn biểu thức $A=\frac{10^4.81-16.15^2}{4^4.675}$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định các thành phần của biểu thức: - Tử số: $10^4.81 - 16.15^2$ - Mẫu số: $4^4.675$ Bước 2: Rút gọn tử số: - $10^4 = 10000$ - $10000 \times 81 = 810000$ - $16 \times 15^2 = 16 \times 225 = 3600$ - Vậy tử số là: $810000 - 3600 = 806400$ Bước 3: Rút gọn mẫu số: - $4^4 = 256$ - $256 \times 675 = 172800$ Bước 4: Thay kết quả đã tính vào biểu thức: \[ A = \frac{806400}{172800} \] Bước 5: Rút gọn phân số: - Ta thấy cả tử số và mẫu số đều chia hết cho 172800: \[ \frac{806400}{172800} = \frac{806400 \div 172800}{172800 \div 172800} = \frac{4.666666666666667}{1} = 4.666666666666667 \] Vậy biểu thức $A$ được rút gọn là: \[ A = 4.666666666666667 \] Đáp số: $A = 4.666666666666667$ Câu 2. Gọi $\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{5}=k$. Ta có $x=3k,y=4k,z=5k$. Thay vào biểu thức $2x^{2}+2y^{2}-3z^{2}=-100$ ta được: $2\times 9k^{2}+2\times 16k^{2}-3\times 25k^{2}=-100$ $18k^{2}+32k^{2}-75k^{2}=-100$ $-25k^{2}=-100$ $k^{2}=4$ $k=2$ hoặc $k=-2$ Với $k=2$ ta có $x=6,y=8,z=10$ Với $k=-2$ ta có $x=-6,y=-8,z=-10$ Câu 3. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện của các biến. Bước 2: Tìm giá trị của \(x\) và \(y\) dựa trên điều kiện đã cho. Bước 3: Thay giá trị của \(x\) và \(y\) vào biểu thức \(M\) để tính giá trị của \(M\). Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. Bước 1: Xác định điều kiện của các biến. Ta có \((x-2)^4 + (2y-1)^{2018} \leq 0\). Bước 2: Tìm giá trị của \(x\) và \(y\). Vì \((x-2)^4\) và \((2y-1)^{2018}\) đều là các số không âm (vì lũy thừa bậc chẵn của một số thực luôn không âm), nên để tổng của chúng nhỏ hơn hoặc bằng 0, mỗi thành phần phải bằng 0. Do đó: \[ (x-2)^4 = 0 \quad \text{và} \quad (2y-1)^{2018} = 0 \] Từ đây, ta có: \[ x - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \] \[ 2y - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2y = 1 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{1}{2} \] Bước 3: Thay giá trị của \(x\) và \(y\) vào biểu thức \(M\) để tính giá trị của \(M\). Biểu thức \(M\) là: \[ M = 11x^2y + 4xy^2 \] Thay \(x = 2\) và \(y = \frac{1}{2}\) vào biểu thức \(M\): \[ M = 11(2)^2 \left(\frac{1}{2}\right) + 4(2)\left(\frac{1}{2}\right)^2 \] \[ M = 11 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} + 4 \cdot 2 \cdot \frac{1}{4} \] \[ M = 11 \cdot 2 + 4 \cdot \frac{1}{2} \] \[ M = 22 + 2 \] \[ M = 24 \] Vậy giá trị của biểu thức \(M\) là 24. Đáp số: \(M = 24\). Câu 4. a) Ta có: $x-2xy+2y=0$ $x+2y-2xy=0$ $(x+2y)-2y(x+2y)=0$ $(x+2y)(1-2y)=0$ $\Rightarrow x+2y=0$ hoặc $1-2y=0$ - Với $x+2y=0$ thì $x=-2y$. Ta có các cặp số nguyên $(x,y)$ thỏa mãn là: $(0,0);(2,-1);(-2,1);(4,-2);(-4,2);...$ - Với $1-2y=0$ thì $y=\frac{1}{2}$. Ta có các cặp số nguyên $(x,y)$ thỏa mãn là: $(1,\frac{1}{2})$ b) Ta có: $M=|x-5|+|x-6|+|x+2020|$ $=|x-5|+|x-6|+|-(x+2020)|$ $=|x-5|+|x-6|+|-x-2020|$ $=|x-5|+|x-6|+|x+2020|$ Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác. Câu 5. Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( Q = \frac{27 - 2x}{12 - x} \) (với \( x \) là số nguyên), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Biểu thức \( Q \) có dạng phân thức, do đó ta cần đảm bảo mẫu số không bằng 0: \[ 12 - x \neq 0 \] \[ x \neq 12 \] Bước 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( Q \) - Ta sẽ biến đổi biểu thức \( Q \) để dễ dàng tìm giá trị lớn nhất: \[ Q = \frac{27 - 2x}{12 - x} \] \[ Q = \frac{2(12 - x) + 3}{12 - x} \] \[ Q = 2 + \frac{3}{12 - x} \] Bước 3: Xét giá trị của \( \frac{3}{12 - x} \) - Để \( Q \) đạt giá trị lớn nhất, \( \frac{3}{12 - x} \) phải đạt giá trị lớn nhất. - \( \frac{3}{12 - x} \) đạt giá trị lớn nhất khi \( 12 - x \) đạt giá trị nhỏ nhất nhưng vẫn lớn hơn 0 (vì mẫu số không được bằng 0). Bước 4: Tìm giá trị của \( x \) sao cho \( 12 - x \) nhỏ nhất - \( 12 - x \) nhỏ nhất khi \( x \) lớn nhất nhưng vẫn thỏa mãn điều kiện \( x \neq 12 \). - Vì \( x \) là số nguyên, giá trị lớn nhất của \( x \) là 11 (khi đó \( 12 - x = 1 \)). Bước 5: Thay \( x = 11 \) vào biểu thức \( Q \) \[ Q = 2 + \frac{3}{12 - 11} \] \[ Q = 2 + \frac{3}{1} \] \[ Q = 2 + 3 \] \[ Q = 5 \] Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \( Q \) là 5, đạt được khi \( x = 11 \). Câu 6. a) Ta có: - $\triangle OAM$ và $\triangle OBN$ có: - $OA = OB$ (theo đề bài) - $AM = BN$ (theo đề bài) - $\angle OAM = \angle OBN = 90^\circ$ (vì $AM \perp Ox$ và $BN \perp Oy$) Do đó, theo trường hợp bằng nhau thứ nhất (cạnh huyền và một cạnh góc vuông), ta có $\triangle OAM \cong \triangle OBN$. Từ đó suy ra $OM = ON$. b) Ta có: - $\triangle OAM \cong \triangle OBN$ (chứng minh ở phần a) - Do đó, $\angle OMA = \angle ONB$ (hai góc tương ứng trong hai tam giác bằng nhau) Ta cũng có: - $\angle OMA + \angle AMB = 180^\circ$ (hai góc kề bù) - $\angle ONB + \angle BNA = 180^\circ$ (hai góc kề bù) Từ đó suy ra $\angle AMB = \angle BNA$. c) Ta có: - $\triangle OAM \cong \triangle OBN$ (chứng minh ở phần a) - Do đó, $\angle OAM = \angle OBN$ (hai góc tương ứng trong hai tam giác bằng nhau) Ta cũng có: - $\angle OAM = \angle OBN = 90^\circ$ (theo đề bài) - $\angle OEA = \angle OFB = 90^\circ$ (vì $MN$ là đường thẳng cắt $Ox$ và $Oy$) Do đó, $\triangle OEA$ và $\triangle OFB$ là các tam giác vuông có chung góc vuông tại $E$ và $F$, và có $OE = OF$ (vì $O$ là đỉnh chung của hai tam giác vuông này). Từ đó suy ra $\triangle OEA \cong \triangle OFB$ (theo trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác vuông: cạnh huyền và một cạnh góc vuông). Do đó, $EA = FB$ và $OE = OF$. Ta cũng có: - $\triangle OEA \cong \triangle OFB$ (chứng minh ở trên) - Do đó, $\angle OEA = \angle OFB$ (hai góc tương ứng trong hai tam giác bằng nhau) Từ đó suy ra $OI$ là đường trung trực của đoạn thẳng $EF$ (vì $OI$ là đường thẳng đi qua trung điểm của $EF$ và vuông góc với $EF$). Vậy $OI$ là đường trung trực của tam giác cân $AEF$. Câu 7. Để chứng minh rằng $\frac{x}{yz+1} + \frac{y}{xz+1} + \frac{z}{xy+1} \leq 2$, ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xét các trường hợp giới hạn của biến số - Vì $0 \leq x \leq y \leq z \leq 1$, ta có thể thấy rằng các biến số đều nằm trong khoảng từ 0 đến 1. Bước 2: Xét từng phân thức riêng lẻ - Ta xét phân thức $\frac{x}{yz+1}$: - Vì $0 \leq y \leq 1$ và $0 \leq z \leq 1$, nên $yz \leq 1$. Do đó, $yz + 1 \geq 1$. - Suy ra $\frac{x}{yz+1} \leq x$ (vì $x \leq 1$). - Ta xét phân thức $\frac{y}{xz+1}$: - Vì $0 \leq x \leq 1$ và $0 \leq z \leq 1$, nên $xz \leq 1$. Do đó, $xz + 1 \geq 1$. - Suy ra $\frac{y}{xz+1} \leq y$ (vì $y \leq 1$). - Ta xét phân thức $\frac{z}{xy+1}$: - Vì $0 \leq x \leq 1$ và $0 \leq y \leq 1$, nên $xy \leq 1$. Do đó, $xy + 1 \geq 1$. - Suy ra $\frac{z}{xy+1} \leq z$ (vì $z \leq 1$). Bước 3: Cộng các phân thức lại - Ta có: \[ \frac{x}{yz+1} + \frac{y}{xz+1} + \frac{z}{xy+1} \leq x + y + z \] Bước 4: Xét tổng của các biến số - Vì $0 \leq x \leq y \leq z \leq 1$, ta có $x + y + z \leq 1 + 1 + 1 = 3$. - Tuy nhiên, do $x, y, z$ đều nhỏ hơn hoặc bằng 1 và $x \leq y \leq z$, ta có thể thấy rằng tổng $x + y + z$ sẽ nhỏ hơn hoặc bằng 2 trong trường hợp giới hạn tối đa. Bước 5: Kết luận - Do đó, ta có: \[ \frac{x}{yz+1} + \frac{y}{xz+1} + \frac{z}{xy+1} \leq x + y + z \leq 2 \] Vậy ta đã chứng minh được $\frac{x}{yz+1} + \frac{y}{xz+1} + \frac{z}{xy+1} \leq 2$.