Giúp mình với!

Câu 1. a) Ta có: \[ A = \frac{2^{12} \cdot 3^5 - 4^6 \cdot 9^2}{(2^2 \cdot 3)^6 + 8^4 \cdot 3^5} - \frac{5^{10} \cdot 7^3 - 25^5 \cdot 49^2}{(125 \cdot 7)^3 + 5^9 \cdot 14^3} \] Chúng ta sẽ thực hiện từng phần của biểu thức này. Phần đầu tiên: 2^{12} \cdot 3^5 = 4096 \cdot 243 = 995328 4^6 = (2^2)^6 = 2^{12} = 4096 9^2 = 81 4^6 \cdot 9^2 = 4096 \cdot 81 = 331776 2^{12} \cdot 3^5 - 4^6 \cdot 9^2 = 995328 - 331776 = 663552 Phần thứ hai: (2^2 \cdot 3)^6 = (4 \cdot 3)^6 = 12^6 = 2985984 8^4 = (2^3)^4 = 2^{12} = 4096 8^4 \cdot 3^5 = 4096 \cdot 243 = 995328 (2^2 \cdot 3)^6 + 8^4 \cdot 3^5 = 2985984 + 995328 = 3981312 Phần thứ ba: 5^{10} \cdot 7^3 = 9765625 \cdot 343 = 335544375 25^5 = (5^2)^5 = 5^{10} = 9765625 49^2 = 2401 25^5 \cdot 49^2 = 9765625 \cdot 2401 = 23425600625 5^{10} \cdot 7^3 - 25^5 \cdot 49^2 = 335544375 - 23425600625 = -23090056250 Phần thứ tư: (125 \cdot 7)^3 = 875^3 = 669921875 5^9 = 1953125 14^3 = 2744 5^9 \cdot 14^3 = 1953125 \cdot 2744 = 5358240000 (125 \cdot 7)^3 + 5^9 \cdot 14^3 = 669921875 + 5358240000 = 6028161875 Tổng kết lại: Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác. Câu 2. a) Ta có $\frac{a+b-c}c=\frac{b+c-a}a=\frac{c+a-b}b$ $\Rightarrow \frac{a+b-c}c+1=\frac{b+c-a}a+1=\frac{c+a-b}b+1$ $\Rightarrow \frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}$ $\Rightarrow (\frac{a+b}{c})(\frac{b+c}{a})(\frac{c+a}{b})=1$ $\Rightarrow (\frac{a}{c}+\frac{b}{c})(\frac{b}{a}+\frac{c}{a})(\frac{c}{b}+\frac{a}{b})=1$ $\Rightarrow (\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+1)(\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+1)(\frac{c}{b}+\frac{a}{b}+1)=8$ $\Rightarrow (\frac{a+b+c}{c})(\frac{a+b+c}{a})(\frac{a+b+c}{b})=8$ $\Rightarrow (\frac{a+b+c}{c})(\frac{a+b+c}{a})(\frac{a+b+c}{b})=8$ $\Rightarrow (\frac{c}{a+b+c})(\frac{a}{a+b+c})(\frac{b}{a+b+c})=\frac{1}{8}$ $\Rightarrow \frac{1}{(1+\frac{b}{a})(1+\frac{c}{b})(1+\frac{a}{c})}=\frac{1}{8}$ $\Rightarrow (1+\frac{b}{a})(1+\frac{c}{b})(1+\frac{a}{c})=8$ $\Rightarrow B=8$ b) Lớp 7A nhận nhiều hơn dự định 4 gói tăm. Tổng số phần bằng nhau lúc đầu là $5+6+7=18$ (phần) Tổng số phần bằng nhau sau khi chia lại là $4+5+6=15$ (phần) Lớp 7A nhận được số phần tăm sau khi chia lại là $4:15=\frac{4}{15}$ (tổng số tăm) Lớp 7A nhận được số phần tăm ban đầu là $5:18=\frac{5}{18}$ (tổng số tăm) Lớp 7A nhận nhiều hơn dự định 4 gói tăm tức là số phần tăm chiếm $\frac{5}{18}-\frac{4}{15}=\frac{1}{30}$ (tổng số tăm) Tổng số tăm ba lớp mua là $4:\frac{1}{30}=120$ (gói tăm) Đáp số: 120 gói tăm c) Ta có $x:y:z=3:4:5$ $\Rightarrow y=\frac{4}{3}x;z=\frac{5}{3}x$ Thay vào biểu thức P ta được: $P=\frac{2017x+2018\times \frac{4}{3}x-2019\times \frac{5}{3}x}{2017x-2018\times \frac{4}{3}x+2019\times \frac{5}{3}x}$ $=\frac{2017x+\frac{8072}{3}x-\frac{10095}{3}x}{2017x-\frac{8072}{3}x+\frac{10095}{3}x}$ $=\frac{\frac{6051}{3}x+\frac{8072}{3}x-\frac{10095}{3}x}{\frac{6051}{3}x-\frac{8072}{3}x+\frac{10095}{3}x}$ $=\frac{\frac{4028}{3}x}{\frac{8074}{3}x}$ $=\frac{2014}{4037}$ Câu 3. a) Ta có: $A=|2x-2|+|2x-2013|=|2x-2|+|2013-2x|\ge |(2x-2)+(2013-2x)|=2011.$ Dấu bằng xảy ra khi $(2x-2)\times (2013-2x)\le 0.$ $\Rightarrow 1\le x\le 1006,5.$ Mà $x$ là số nguyên nên $x=1006.$ Vậy giá trị nhỏ nhất của $A$ là 2011, đạt được khi $x=1006.$ b) Ta có: $x+y+z=xyz.$ $\Rightarrow xyz-z=x+y.$ $\Rightarrow z\times (xy-1)=x+y.$ $\Rightarrow xy-1=\frac{x+y}{z}.$ Vì $x,y,z$ là số nguyên dương nên $\frac{x+y}{z}$ là số nguyên dương. $\Rightarrow xy-1$ là số nguyên dương. $\Rightarrow xy>1.$ $\Rightarrow xy\ge 2.$ Ta có: $xy-1=\frac{x+y}{z}\ge 1.$ $\Rightarrow xy\ge 2.$ $\Rightarrow xy=2.$ $\Rightarrow x=1,y=2$ hoặc $x=2,y=1.$ Thay vào ta có $z=3.$ Vậy các nghiệm nguyên dương của phương trình là $(1,2,3),(2,1,3),(3,1,2),(3,2,1).$ Câu 4. a) Ta có: - $PQ$ là đường trung bình của $\triangle ABD$, nên $PQ \parallel BD$ và $PQ = \frac{1}{2}BD$. - $PQ$ cũng là đường trung bình của $\triangle ABC$, nên $PQ \parallel AC$ và $PQ = \frac{1}{2}AC$. Do đó, $BD = AC$ và $BD \parallel AC$. Suy ra tứ giác $ABDC$ là hình bình hành. - Vì $I$ là giao điểm của các đường vuông góc với $AD$ và $BC$ tại $P$ và $Q$, nên $IP \perp AD$ và $IQ \perp BC$. - Trong hình bình hành $ABDC$, ta có $AI = ID$ (vì $P$ là trung điểm của $AD$) và $BI = IC$ (vì $Q$ là trung điểm của $BC$). - Các góc $\angle AIB$ và $\angle DIC$ đều là góc vuông (do $IP \perp AD$ và $IQ \perp BC$). Do đó, theo trường hợp bằng nhau thứ nhất (cạnh - góc - cạnh), ta có $\triangle AIB = \triangle DIC$. b) Từ kết quả ở phần a), ta có $\triangle AIB = \triangle DIC$. Do đó, $\angle BAI = \angle CAD$. - Vì $ABDC$ là hình bình hành, nên $\angle BAD = \angle ACD$. - Kết hợp với $\angle BAI = \angle CAD$, ta có $\angle BAI = \angle CAI$. Vậy $AI$ là tia phân giác của góc $BAC$. c) Kẻ $IE \perp AB$ tại $E$. - Vì $AI$ là tia phân giác của góc $BAC$, nên $IE$ là đường cao hạ từ đỉnh $A$ của tam giác $ABD$. - Trong tam giác $ABD$, đường cao hạ từ đỉnh $A$ chia đôi đáy $BD$ (do $ABDC$ là hình bình hành và $BD = AC$). - Do đó, $AE = \frac{1}{2}AD$. Đáp số: $AE = \frac{1}{2}AD$. Câu 5. Để tính giá trị của biểu thức \( A = \frac{x}{xy + x + 1} + \frac{y}{yz + y + 1} + \frac{z}{xz + z + 1} \) với điều kiện \( xyz = 1 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xét từng phân số trong biểu thức \( A \): - Ta có \( \frac{x}{xy + x + 1} \) - Ta có \( \frac{y}{yz + y + 1} \) - Ta có \( \frac{z}{xz + z + 1} \) Bước 2: Thay \( xyz = 1 \) vào biểu thức: - Ta thấy rằng \( xy = \frac{1}{z} \), \( yz = \frac{1}{x} \), và \( xz = \frac{1}{y} \). Bước 3: Thay các giá trị này vào biểu thức: - \( \frac{x}{xy + x + 1} = \frac{x}{\frac{1}{z} + x + 1} = \frac{x}{\frac{1 + xz + z}{z}} = \frac{xz}{1 + xz + z} \) - \( \frac{y}{yz + y + 1} = \frac{y}{\frac{1}{x} + y + 1} = \frac{y}{\frac{1 + xy + x}{x}} = \frac{yx}{1 + xy + x} \) - \( \frac{z}{xz + z + 1} = \frac{z}{\frac{1}{y} + z + 1} = \frac{z}{\frac{1 + yz + y}{y}} = \frac{zy}{1 + yz + y} \) Bước 4: Nhóm lại các phân số: - \( A = \frac{xz}{1 + xz + z} + \frac{yx}{1 + xy + x} + \frac{zy}{1 + yz + y} \) Bước 5: Nhận thấy rằng các phân số này có dạng giống nhau và có thể nhóm lại: - \( A = \frac{xz}{1 + xz + z} + \frac{yx}{1 + xy + x} + \frac{zy}{1 + yz + y} \) Bước 6: Ta nhận thấy rằng tổng của các phân số này sẽ là 1 do tính chất của phân số và điều kiện \( xyz = 1 \): - \( A = 1 \) Vậy giá trị của biểu thức \( A \) là \( 1 \). Đáp số: \( A = 1 \)