Bài 14: Cho hình bình hành ABCD có AC>BD. Kẻ CE⊥AB tại E, kẻ CF⊥AD tại F, kẻ BH⊥AC tại H, kẻ DK⊥AC tại K. Chứng minh AB.AE=AH.AC (Hình 25) Chứng minh AD.AF=AK.AC Chứng minh AC^2=AB.AE+AD.AF

Bài 14: Chúng ta sẽ chứng minh từng phần của bài toán theo yêu cầu. Chứng minh AB.AE = AH.AC 1. Xét tam giác ABE và tam giác ACE: - Tam giác ABE có góc AEB vuông (CE ⊥ AB). - Tam giác ACE có góc AEC vuông (CE ⊥ AB). 2. Ta thấy rằng: - Góc BAE chung cho cả hai tam giác. - Góc AEB và góc AEC đều là góc vuông. 3. Do đó, tam giác ABE và tam giác ACE đồng dạng theo trường hợp góc - góc (góc BAE chung và cả hai đều có góc vuông). 4. Từ tính chất đồng dạng của tam giác, ta có: \[ \frac{AB}{AE} = \frac{AC}{AH} \] 5. Nhân cả hai vế với AE và AH, ta được: \[ AB \cdot AE = AC \cdot AH \] Chứng minh AD.AF = AK.AC 1. Xét tam giác ADF và tam giác ACF: - Tam giác ADF có góc AFD vuông (CF ⊥ AD). - Tam giác ACF có góc AFC vuông (CF ⊥ AD). 2. Ta thấy rằng: - Góc DAF chung cho cả hai tam giác. - Góc AFD và góc AFC đều là góc vuông. 3. Do đó, tam giác ADF và tam giác ACF đồng dạng theo trường hợp góc - góc (góc DAF chung và cả hai đều có góc vuông). 4. Từ tính chất đồng dạng của tam giác, ta có: \[ \frac{AD}{AF} = \frac{AC}{AK} \] 5. Nhân cả hai vế với AF và AK, ta được: \[ AD \cdot AF = AC \cdot AK \] Chứng minh AC^2 = AB.AE + AD.AF 1. Từ hai kết quả trên, ta đã có: \[ AB \cdot AE = AC \cdot AH \] \[ AD \cdot AF = AC \cdot AK \] 2. Cộng hai đẳng thức này lại, ta được: \[ AB \cdot AE + AD \cdot AF = AC \cdot AH + AC \cdot AK \] 3. Ta nhận thấy rằng: \[ AC \cdot AH + AC \cdot AK = AC \cdot (AH + AK) \] 4. Vì AH + AK = AC (vì H và K nằm trên đoạn thẳng AC), nên: \[ AC \cdot (AH + AK) = AC \cdot AC = AC^2 \] 5. Vậy ta có: \[ AB \cdot AE + AD \cdot AF = AC^2 \] Kết luận Ta đã chứng minh được: - \( AB \cdot AE = AH \cdot AC \) - \( AD \cdot AF = AK \cdot AC \) - \( AC^2 = AB \cdot AE + AD \cdot AF \) Đây là kết quả cuối cùng của bài toán.