Tìm x,y biết $x^2+2y^2+5z^2+1=2\left(xy+2yz+z\right)$

Để tìm \(x\), \(y\), và \(z\) thỏa mãn phương trình: \[ x^2 + 2y^2 + 5z^2 + 1 = 2(xy + 2yz + z) \] Chúng ta sẽ biến đổi phương trình này thành dạng tổng bình phương bằng cách nhóm các hạng tử lại. Bước 1: Nhóm các hạng tử theo từng cặp để dễ dàng nhận thấy các bình phương hoàn chỉnh: \[ x^2 + 2y^2 + 5z^2 + 1 = 2xy + 4yz + 2z \] Bước 2: Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế: \[ x^2 + 2y^2 + 5z^2 + 1 - 2xy - 4yz - 2z = 0 \] Bước 3: Nhóm các hạng tử sao cho chúng tạo thành các bình phương hoàn chỉnh: \[ (x^2 - 2xy + y^2) + (y^2 - 4yz + 4z^2) + (z^2 - 2z + 1) = 0 \] Bước 4: Nhận thấy rằng các biểu thức trong ngoặc vuông là các bình phương hoàn chỉnh: \[ (x - y)^2 + (y - 2z)^2 + (z - 1)^2 = 0 \] Bước 5: Tổng của các bình phương luôn lớn hơn hoặc bằng 0. Để tổng này bằng 0, mỗi bình phương phải bằng 0: \[ (x - y)^2 = 0 \] \[ (y - 2z)^2 = 0 \] \[ (z - 1)^2 = 0 \] Bước 6: Giải các phương trình này: \[ x - y = 0 \Rightarrow x = y \] \[ y - 2z = 0 \Rightarrow y = 2z \] \[ z - 1 = 0 \Rightarrow z = 1 \] Bước 7: Thay \(z = 1\) vào các phương trình còn lại: \[ y = 2 \times 1 = 2 \] \[ x = y = 2 \] Vậy, các giá trị của \(x\), \(y\), và \(z\) là: \[ x = 2, \quad y = 2, \quad z = 1 \]