Chứng minh rằng:
$S=\frac1{2^2}-\frac1{2^4}+\frac1{2^6}-...+\frac1{2^{4n-2}}-\frac1{2^{4n}}+...+\frac1{2^{2002}}-\frac1{2^{2004}}

Question

Chứng minh rằng:
 $S=\frac1{2^2}-\frac1{2^4}+\frac1{2^6}-...+\frac1{2^{4n-2}}-\frac1{2^{4n}}+...+\frac1{2^{2002}}-\frac1{2^{2004}}<0,2$

Timi · Accepted Answer

Ta có:
$$ S = \frac{1}{2^2} - \frac{1}{2^4} + \frac{1}{2^6} - ... + \frac{1}{2^{4n-2}} - \frac{1}{2^{4n}} + ... + \frac{1}{2^{2002}} - \frac{1}{2^{2004}} $$

Nhận thấy đây là một dãy số có các số hạng thay đổi theo quy luật luân phiên giữa các số dương và âm. Ta sẽ nhóm các số hạng lại để dễ dàng chứng minh:

$$ S = \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{2^4} \right) + \left( \frac{1}{2^6} - \frac{1}{2^8} \right) + ... + \left( \frac{1}{2^{2002}} - \frac{1}{2^{2004}} \right) $$

Mỗi cặp số hạng có dạng:
$$ \frac{1}{2^{2k}} - \frac{1}{2^{2k+2}} $$

Ta có thể viết lại mỗi cặp này dưới dạng:
$$ \frac{1}{2^{2k}} - \frac{1}{2^{2k+2}} = \frac{1}{2^{2k}} - \frac{1}{2^{2k} \cdot 2^2} = \frac{1}{2^{2k}} - \frac{1}{4 \cdot 2^{2k}} = \frac{1}{2^{2k}} \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{2^{2k}} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{4 \cdot 2^{2k}} $$

Do đó, tổng $ S $ có thể viết lại thành:
$$ S = \frac{3}{4 \cdot 2^2} + \frac{3}{4 \cdot 2^6} + \frac{3}{4 \cdot 2^{10}} + ... + \frac{3}{4 \cdot 2^{2002}} $$

Nhận thấy đây là một dãy số lũy thừa với công bội là $ \frac{1}{16} $:
$$ S = \frac{3}{4 \cdot 2^2} \left( 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{16^2} + ... + \frac{1}{16^{500}} \right) $$

Tổng của dãy số lũy thừa này là:
$$ 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{16^2} + ... + \frac{1}{16^{500}} < \frac{1}{1 - \frac{1}{16}} = \frac{16}{15} $$

Do đó:
$$ S < \frac{3}{4 \cdot 2^2} \cdot \frac{16}{15} = \frac{3}{16} \cdot \frac{16}{15} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} = 0,2 $$

Vậy ta đã chứng minh được:
$$ S < 0,2 $$

Tài khoản ẩn danh · Answer

$$4S = \frac{4}{2^2} - \frac{4}{2^4} + \frac{4}{2^6} - \ldots + \frac{4}{2^{4n - 2}} - \frac{4}{2^{4n}} + \ldots + \frac{4}{2^{2002}} -\frac{4}{2^{2004}}$$

$$4S = 1 - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^4} - \ldots - \frac{1}{2^{2002}}$$

$$4S + S = 1 - \frac{1}{2^{2004}}$$

$$5S = \frac{2^{2004} - 1}{2^{2004}} < 1$$

$$\Rightarrow 5S < 1 ext{ hay } S < \frac{1}{5} = 0{,}2 \quad ( ext{đpcm})$$