Chứng minh Q = $35x-14y-1+2^9$ chia hết cho 7 với x ∈ Z, y ∈ Z.

Question

Ninh Hoàng · Accepted Answer

$$Q=35x-14y-1+2^9$$

$$=35x-14y-1+512$$

$$=35x-14y+511$$

$$=7.\left(5x-2y+73\right)$$

Vì $$7\vdots7\Rightarrow7.\left(5x-2y+73\right)\vdots7\forall x,y\in Z$$

$$\Rightarrowđpcm.$$

Timi · Answer

Để chứng minh $ Q = 35x - 14y - 1 + 2^9 $ chia hết cho 7 với $ x \in \mathbb{Z} $, $ y \in \mathbb{Z} $, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Ta thấy rằng $ 35 $ chia hết cho $ 7 $, tức là $ 35 = 7 \times 5 $. Do đó, $ 35x $ cũng sẽ chia hết cho $ 7 $ vì $ x $ là số nguyên.

Bước 2: Ta cũng thấy rằng $ 14 $ chia hết cho $ 7 $, tức là $ 14 = 7 \times 2 $. Do đó, $ 14y $ cũng sẽ chia hết cho $ 7 $ vì $ y $ là số nguyên.

Bước 3: Ta tính $ 2^9 $:
$$ 2^9 = 512 $$

Bước 4: Ta kiểm tra $ 512 $ chia hết cho $ 7 $:
$$ 512 \div 7 = 73 \text{ dư } 1 $$
Như vậy, $ 512 $ không chia hết cho $ 7 $, nhưng ta có thể viết lại:
$$ 512 = 7 \times 73 + 1 $$

Bước 5: Thay vào biểu thức $ Q $:
$$ Q = 35x - 14y - 1 + 512 $$
$$ Q = 35x - 14y - 1 + (7 \times 73 + 1) $$
$$ Q = 35x - 14y - 1 + 7 \times 73 + 1 $$
$$ Q = 35x - 14y + 7 \times 73 $$

Bước 6: Ta thấy rằng $ 35x $, $ 14y $, và $ 7 \times 73 $ đều chia hết cho $ 7 $. Do đó, tổng của chúng cũng sẽ chia hết cho $ 7 $.

Kết luận: $ Q = 35x - 14y - 1 + 2^9 $ chia hết cho $ 7 $ với $ x \in \mathbb{Z} $, $ y \in \mathbb{Z} $.