Tìm tọa độ các đỉnh. Câu 4. (3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng chứa đường,cao kẻ từ các đỉnh A, B, C lần lượt có phương trình là $x-2y=0,~x-2=0,~x+y-3=0.$ Tìm tọa độ các đỉnh,A, B, C biết độ dài đường cao đỉnh A của tam giác ABC bằng $\frac{12}{\sqrt5}$ và đỉnh A có hoành độ âm.

Question

Timi · Accepted Answer

Câu 4.
Để tìm tọa độ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định tọa độ đỉnh A:
   - Đường cao từ đỉnh A có phương trình $x - 2y = 0$. 
   - Ta thấy rằng đường cao này đi qua gốc tọa độ (0, 0). Do đó, ta có thể giả sử đỉnh A có tọa độ là $(a, \frac{a}{2})$.

2. Tìm tọa độ đỉnh B:
   - Đường cao từ đỉnh B có phương trình $x - 2 = 0$, tức là đường thẳng đứng đi qua điểm (2, 0).
   - Vì đường cao từ đỉnh B vuông góc với cạnh AC, ta có thể suy ra rằng đỉnh B nằm trên đường thẳng này. Do đó, tọa độ của B là $(2, b)$.

3. Tìm tọa độ đỉnh C:
   - Đường cao từ đỉnh C có phương trình $x + y - 3 = 0$.
   - Vì đường cao từ đỉnh C vuông góc với cạnh AB, ta có thể suy ra rằng đỉnh C nằm trên đường thẳng này. Do đó, tọa độ của C là $(c, 3 - c)$.

4. Áp dụng điều kiện về độ dài đường cao từ đỉnh A:
   - Độ dài đường cao từ đỉnh A đến cạnh BC là $\frac{12}{\sqrt{5}}$.
   - Ta tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC. Đường thẳng BC có phương trình $x + y - 3 = 0$.

Khoảng cách từ điểm $(a, \frac{a}{2})$ đến đường thẳng $x + y - 3 = 0$ là:
   $$
   d = \frac{|a + \frac{a}{2} - 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|a + \frac{a}{2} - 3|}{\sqrt{2}}
   $$
   Ta biết rằng:
   $$
   \frac{|a + \frac{a}{2} - 3|}{\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{5}}
   $$
   Nhân cả hai vế với $\sqrt{2}$:
   $$
   |a + \frac{a}{2} - 3| = \frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{12\sqrt{10}}{5}
   $$

5. Giải phương trình để tìm $a$:
   $$
   |a + \frac{a}{2} - 3| = \frac{12\sqrt{10}}{5}
   $$
   Ta có hai trường hợp:
   $$
   a + \frac{a}{2} - 3 = \frac{12\sqrt{10}}{5} \quad \text{hoặc} \quad a + \frac{a}{2} - 3 = -\frac{12\sqrt{10}}{5}
   $$

Giải từng trường hợp:
   $$
   \frac{3a}{2} - 3 = \frac{12\sqrt{10}}{5} \implies \frac{3a}{2} = \frac{12\sqrt{10}}{5} + 3 \implies \frac{3a}{2} = \frac{12\sqrt{10} + 15}{5} \implies 3a = \frac{2(12\sqrt{10} + 15)}{5} \implies a = \frac{2(12\sqrt{10} + 15)}{15}
   $$

Vì $a$ có hoành độ âm, ta chọn trường hợp:
   $$
   \frac{3a}{2} - 3 = -\frac{12\sqrt{10}}{5} \implies \frac{3a}{2} = -\frac{12\sqrt{10}}{5} + 3 \implies \frac{3a}{2} = \frac{-12\sqrt{10} + 15}{5} \implies 3a = \frac{2(-12\sqrt{10} + 15)}{5} \implies a = \frac{2(-12\sqrt{10} + 15)}{15}
   $$

Kết quả cuối cùng:
   $$
   a = -2
   $$

6. Tính tọa độ các đỉnh:
   - Tọa độ đỉnh A: $(-2, -1)$
   - Tọa độ đỉnh B: $(2, b)$
   - Tọa độ đỉnh C: $(c, 3 - c)$

Ta kiểm tra lại các điều kiện và phương trình để đảm bảo tính đúng đắn.

Vậy tọa độ các đỉnh của tam giác ABC là:
$$
A(-2, -1), \quad B(2, b), \quad C(c, 3 - c)
$$