Gj gr ăn dzhj

Câu 1. a) \( x.(x+3) - x^2 + 9 = 0 \) Ta thực hiện phép nhân và sắp xếp lại các hạng tử: \[ x^2 + 3x - x^2 + 9 = 0 \] Các hạng tử \( x^2 \) triệt tiêu lẫn nhau: \[ 3x + 9 = 0 \] Giải phương trình này: \[ 3x = -9 \] \[ x = -3 \] Vậy \( x = -3 \). b) \( x.(x-1) - x^2 + 2x = 5 \) Ta thực hiện phép nhân và sắp xếp lại các hạng tử: \[ x^2 - x - x^2 + 2x = 5 \] Các hạng tử \( x^2 \) triệt tiêu lẫn nhau: \[ -x + 2x = 5 \] \[ x = 5 \] Vậy \( x = 5 \). c) \( 2x.(x-5) - x.(3+2x) = 26 \) Ta thực hiện phép nhân và sắp xếp lại các hạng tử: \[ 2x^2 - 10x - 3x - 2x^2 = 26 \] Các hạng tử \( 2x^2 \) triệt tiêu lẫn nhau: \[ -10x - 3x = 26 \] \[ -13x = 26 \] \[ x = -2 \] Vậy \( x = -2 \). d) \( (x-2).(x+3) - x(x-2) = 3 \) Ta thực hiện phép nhân và sắp xếp lại các hạng tử: \[ x^2 + 3x - 2x - 6 - x^2 + 2x = 3 \] Các hạng tử \( x^2 \) triệt tiêu lẫn nhau: \[ 3x - 2x + 2x - 6 = 3 \] \[ 3x - 6 = 3 \] \[ 3x = 9 \] \[ x = 3 \] Vậy \( x = 3 \). Đáp số: a) \( x = -3 \) b) \( x = 5 \) c) \( x = -2 \) d) \( x = 3 \) Câu 2. a) Ta có: \[ 3x^2 - 3x(x - 2) = 36 \] \[ 3x^2 - 3x^2 + 6x = 36 \] \[ 6x = 36 \] \[ x = \frac{36}{6} \] \[ x = 6 \] b) Ta có: \[ 5x(4x^2 - 2x + 1) - 2x(10x^2 - 5x + 2) = -36 \] \[ 20x^3 - 10x^2 + 5x - 20x^3 + 10x^2 - 4x = -36 \] \[ 5x - 4x = -36 \] \[ x = -36 \] Đáp số: a) \( x = 6 \) b) \( x = -36 \) Câu 3. a) Ta có: \[ 3(1-4x)(x-1)+4(3x+2)(x+3)=38 \] Phát triển các biểu thức: \[ 3[(1-4x)(x-1)] + 4[(3x+2)(x+3)] = 38 \] \[ 3[x - 1 - 4x^2 + 4x] + 4[3x^2 + 9x + 2x + 6] = 38 \] \[ 3[-4x^2 + 5x - 1] + 4[3x^2 + 11x + 6] = 38 \] \[ -12x^2 + 15x - 3 + 12x^2 + 44x + 24 = 38 \] \[ 59x + 21 = 38 \] \[ 59x = 38 - 21 \] \[ 59x = 17 \] \[ x = \frac{17}{59} \] b) Ta có: \[ (8-5x)(x+2)+4(x-2)(x+1)+2(x-2)(x+2)=0 \] Phát triển các biểu thức: \[ (8-5x)(x+2) + 4[(x-2)(x+1)] + 2[(x-2)(x+2)] = 0 \] \[ 8x + 16 - 5x^2 - 10x + 4[x^2 - x - 2x + 2] + 2[x^2 - 4] = 0 \] \[ -5x^2 - 2x + 16 + 4[x^2 - 3x + 2] + 2[x^2 - 4] = 0 \] \[ -5x^2 - 2x + 16 + 4x^2 - 12x + 8 + 2x^2 - 8 = 0 \] \[ x^2 - 14x + 16 = 0 \] \[ x^2 - 14x + 16 = 0 \] \[ (x - 2)(x - 8) = 0 \] \[ x = 2 \text{ hoặc } x = 8 \] Đáp số: a) \( x = \frac{17}{59} \) b) \( x = 2 \) hoặc \( x = 8 \) Câu 4. Để tìm các giá trị của \( x \) nguyên sao cho các biểu thức \( A \), \( B \), và \( C \) là số nguyên, ta sẽ lần lượt xét từng biểu thức. a) \( A = \frac{128}{4x + 3} \) Để \( A \) là số nguyên, \( 4x + 3 \) phải là ước của 128. Ta tìm các ước của 128: \[ 128 = 2^7 \] Ước của 128 là: \( \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16, \pm 32, \pm 64, \pm 128 \). Ta giải phương trình \( 4x + 3 = d \) với \( d \) là các ước của 128: \[ 4x = d - 3 \] \[ x = \frac{d - 3}{4} \] Kiểm tra từng ước: - \( d = 1 \): \( x = \frac{1 - 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \) (loại) - \( d = -1 \): \( x = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \) (thỏa mãn) - \( d = 2 \): \( x = \frac{2 - 3}{4} = \frac{-1}{4} \) (loại) - \( d = -2 \): \( x = \frac{-2 - 3}{4} = \frac{-5}{4} \) (loại) - \( d = 4 \): \( x = \frac{4 - 3}{4} = \frac{1}{4} \) (loại) - \( d = -4 \): \( x = \frac{-4 - 3}{4} = \frac{-7}{4} \) (loại) - \( d = 8 \): \( x = \frac{8 - 3}{4} = \frac{5}{4} \) (loại) - \( d = -8 \): \( x = \frac{-8 - 3}{4} = \frac{-11}{4} \) (loại) - \( d = 16 \): \( x = \frac{16 - 3}{4} = \frac{13}{4} \) (loại) - \( d = -16 \): \( x = \frac{-16 - 3}{4} = \frac{-19}{4} \) (loại) - \( d = 32 \): \( x = \frac{32 - 3}{4} = \frac{29}{4} \) (loại) - \( d = -32 \): \( x = \frac{-32 - 3}{4} = \frac{-35}{4} \) (loại) - \( d = 64 \): \( x = \frac{64 - 3}{4} = \frac{61}{4} \) (loại) - \( d = -64 \): \( x = \frac{-64 - 3}{4} = \frac{-67}{4} \) (loại) - \( d = 128 \): \( x = \frac{128 - 3}{4} = \frac{125}{4} \) (loại) - \( d = -128 \): \( x = \frac{-128 - 3}{4} = \frac{-131}{4} \) (loại) Vậy \( x = -1 \) là giá trị duy nhất thỏa mãn. b) \( B = \frac{125}{2x + 6} \) Để \( B \) là số nguyên, \( 2x + 6 \) phải là ước của 125. Ta tìm các ước của 125: \[ 125 = 5^3 \] Ước của 125 là: \( \pm 1, \pm 5, \pm 25, \pm 125 \). Ta giải phương trình \( 2x + 6 = d \) với \( d \) là các ước của 125: \[ 2x = d - 6 \] \[ x = \frac{d - 6}{2} \] Kiểm tra từng ước: - \( d = 1 \): \( x = \frac{1 - 6}{2} = \frac{-5}{2} \) (loại) - \( d = -1 \): \( x = \frac{-1 - 6}{2} = \frac{-7}{2} \) (loại) - \( d = 5 \): \( x = \frac{5 - 6}{2} = \frac{-1}{2} \) (loại) - \( d = -5 \): \( x = \frac{-5 - 6}{2} = \frac{-11}{2} \) (loại) - \( d = 25 \): \( x = \frac{25 - 6}{2} = \frac{19}{2} \) (loại) - \( d = -25 \): \( x = \frac{-25 - 6}{2} = \frac{-31}{2} \) (loại) - \( d = 125 \): \( x = \frac{125 - 6}{2} = \frac{119}{2} \) (loại) - \( d = -125 \): \( x = \frac{-125 - 6}{2} = \frac{-131}{2} \) (loại) Không có giá trị nào thỏa mãn. c) \( C = \frac{x - 3}{x - 10} \) Để \( C \) là số nguyên, \( x - 10 \) phải là ước của \( x - 3 \). Ta viết lại: \[ C = \frac{x - 3}{x - 10} = 1 + \frac{7}{x - 10} \] Để \( C \) là số nguyên, \( \frac{7}{x - 10} \) phải là số nguyên. Vậy \( x - 10 \) phải là ước của 7. Ta tìm các ước của 7: \[ 7 = 7 \times 1 \] Ước của 7 là: \( \pm 1, \pm 7 \). Ta giải phương trình \( x - 10 = d \) với \( d \) là các ước của 7: \[ x = d + 10 \] Kiểm tra từng ước: - \( d = 1 \): \( x = 1 + 10 = 11 \) (thỏa mãn) - \( d = -1 \): \( x = -1 + 10 = 9 \) (thỏa mãn) - \( d = 7 \): \( x = 7 + 10 = 17 \) (thỏa mãn) - \( d = -7 \): \( x = -7 + 10 = 3 \) (thỏa mãn) Vậy các giá trị của \( x \) là: \( x = 11, 9, 17, 3 \). Đáp số: a) \( x = -1 \) b) Không có giá trị nào c) \( x = 11, 9, 17, 3 \) Câu 5. Để tìm các giá trị của \( x \) nguyên sao cho các biểu thức \( A \), \( B \), và \( C \) là số nguyên, ta sẽ xét từng biểu thức một. a) \( A = \frac{3x + 1}{x - 2} \) Để \( A \) là số nguyên, \( x - 2 \) phải là ước của \( 3x + 1 \). Ta có: \[ 3x + 1 = 3(x - 2) + 7 \] Do đó: \[ A = \frac{3(x - 2) + 7}{x - 2} = 3 + \frac{7}{x - 2} \] Để \( A \) là số nguyên, \( \frac{7}{x - 2} \) phải là số nguyên, tức là \( x - 2 \) phải là ước của 7. Các ước của 7 là \( \pm 1 \) và \( \pm 7 \). Vậy ta có các trường hợp: 1. \( x - 2 = 1 \Rightarrow x = 3 \) 2. \( x - 2 = -1 \Rightarrow x = 1 \) 3. \( x - 2 = 7 \Rightarrow x = 9 \) 4. \( x - 2 = -7 \Rightarrow x = -5 \) Vậy các giá trị của \( x \) là: \( x = 3, 1, 9, -5 \). b) \( B = \frac{x + 1}{3x - 2} \) Để \( B \) là số nguyên, \( 3x - 2 \) phải là ước của \( x + 1 \). Ta có: \[ x + 1 = \frac{1}{3}(3x - 2) + \frac{5}{3} \] Do đó: \[ B = \frac{\frac{1}{3}(3x - 2) + \frac{5}{3}}{3x - 2} = \frac{1}{3} + \frac{5}{3(3x - 2)} \] Để \( B \) là số nguyên, \( \frac{5}{3(3x - 2)} \) phải là số nguyên, tức là \( 3(3x - 2) \) phải là ước của 5. Các ước của 5 là \( \pm 1 \) và \( \pm 5 \). Vậy ta có các trường hợp: 1. \( 3(3x - 2) = 1 \Rightarrow 3x - 2 = \frac{1}{3} \) (loại vì \( x \) không nguyên) 2. \( 3(3x - 2) = -1 \Rightarrow 3x - 2 = -\frac{1}{3} \) (loại vì \( x \) không nguyên) 3. \( 3(3x - 2) = 5 \Rightarrow 3x - 2 = \frac{5}{3} \) (loại vì \( x \) không nguyên) 4. \( 3(3x - 2) = -5 \Rightarrow 3x - 2 = -\frac{5}{3} \) (loại vì \( x \) không nguyên) Vậy không có giá trị nào của \( x \) nguyên thỏa mãn điều kiện này. c) \( C = \frac{2x - 1}{3x - 2} \) Để \( C \) là số nguyên, \( 3x - 2 \) phải là ước của \( 2x - 1 \). Ta có: \[ 2x - 1 = \frac{2}{3}(3x - 2) + \frac{1}{3} \] Do đó: \[ C = \frac{\frac{2}{3}(3x - 2) + \frac{1}{3}}{3x - 2} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3(3x - 2)} \] Để \( C \) là số nguyên, \( \frac{1}{3(3x - 2)} \) phải là số nguyên, tức là \( 3(3x - 2) \) phải là ước của 1. Các ước của 1 là \( \pm 1 \). Vậy ta có các trường hợp: 1. \( 3(3x - 2) = 1 \Rightarrow 3x - 2 = \frac{1}{3} \) (loại vì \( x \) không nguyên) 2. \( 3(3x - 2) = -1 \Rightarrow 3x - 2 = -\frac{1}{3} \) (loại vì \( x \) không nguyên) Vậy không có giá trị nào của \( x \) nguyên thỏa mãn điều kiện này. Kết luận - Các giá trị của \( x \) nguyên để \( A \) là số nguyên là: \( x = 3, 1, 9, -5 \). - Không có giá trị nào của \( x \) nguyên để \( B \) là số nguyên. - Không có giá trị nào của \( x \) nguyên để \( C \) là số nguyên. Câu 6. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ tìm các giá trị của \( x \) sao cho các phân thức đã cho là số nguyên hoặc số tự nhiên. Phần a) Tìm số nguyên \( x \) sao cho \( \frac{x+7}{3x-1} \) là số nguyên 1. Điều kiện xác định: \( 3x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{1}{3} \) Vì \( x \) là số nguyên, nên \( x \neq \frac{1}{3} \) luôn đúng. 2. Phân tích: Ta cần \( \frac{x+7}{3x-1} \) là số nguyên. Điều này có nghĩa là \( x + 7 \) chia hết cho \( 3x - 1 \). 3. Kiểm tra các trường hợp: - Nếu \( x = 0 \): \[ \frac{0 + 7}{3 \cdot 0 - 1} = \frac{7}{-1} = -7 \quad (\text{số nguyên}) \] - Nếu \( x = 1 \): \[ \frac{1 + 7}{3 \cdot 1 - 1} = \frac{8}{2} = 4 \quad (\text{số nguyên}) \] - Nếu \( x = 2 \): \[ \frac{2 + 7}{3 \cdot 2 - 1} = \frac{9}{5} \quad (\text{không là số nguyên}) \] - Nếu \( x = -1 \): \[ \frac{-1 + 7}{3 \cdot (-1) - 1} = \frac{6}{-4} = -\frac{3}{2} \quad (\text{không là số nguyên}) \] Kiểm tra các giá trị khác cũng không thỏa mãn điều kiện là số nguyên. Vậy các giá trị của \( x \) là: \( x = 0 \) và \( x = 1 \). Phần b) Tìm số nguyên \( x \) sao cho \( \frac{3x+2}{4x-5} \) là số tự nhiên 1. Điều kiện xác định: \( 4x - 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{5}{4} \) Vì \( x \) là số nguyên, nên \( x \neq \frac{5}{4} \) luôn đúng. 2. Phân tích: Ta cần \( \frac{3x+2}{4x-5} \) là số tự nhiên. Điều này có nghĩa là \( 3x + 2 \) chia hết cho \( 4x - 5 \). 3. Kiểm tra các trường hợp: - Nếu \( x = 1 \): \[ \frac{3 \cdot 1 + 2}{4 \cdot 1 - 5} = \frac{5}{-1} = -5 \quad (\text{không là số tự nhiên}) \] - Nếu \( x = 2 \): \[ \frac{3 \cdot 2 + 2}{4 \cdot 2 - 5} = \frac{8}{3} \quad (\text{không là số tự nhiên}) \] - Nếu \( x = 3 \): \[ \frac{3 \cdot 3 + 2}{4 \cdot 3 - 5} = \frac{11}{7} \quad (\text{không là số tự nhiên}) \] - Nếu \( x = 4 \): \[ \frac{3 \cdot 4 + 2}{4 \cdot 4 - 5} = \frac{14}{11} \quad (\text{không là số tự nhiên}) \] - Nếu \( x = 5 \): \[ \frac{3 \cdot 5 + 2}{4 \cdot 5 - 5} = \frac{17}{15} \quad (\text{không là số tự nhiên}) \] Kiểm tra các giá trị khác cũng không thỏa mãn điều kiện là số tự nhiên. Vậy không có giá trị nào của \( x \) sao cho \( \frac{3x+2}{4x-5} \) là số tự nhiên. Đáp số: a) \( x = 0 \) và \( x = 1 \) b) Không có giá trị nào của \( x \) sao cho \( \frac{3x+2}{4x-5} \) là số tự nhiên. Câu 7. Để phân số $\frac{4x+5}{2x-1}$ có giá trị là một số nguyên, ta cần tìm các giá trị của x sao cho tử số chia hết cho mẫu số. Ta có: \[ \frac{4x+5}{2x-1} = \frac{2(2x-1) + 7}{2x-1} = 2 + \frac{7}{2x-1} \] Để phân số này là số nguyên, thì $\frac{7}{2x-1}$ cũng phải là số nguyên. Điều này có nghĩa là 2x - 1 phải là ước của 7. Các ước của 7 là ±1 và ±7. Ta xét các trường hợp sau: 1. 2x - 1 = 1 \[ 2x - 1 = 1 \implies 2x = 2 \implies x = 1 \] 2. 2x - 1 = -1 \[ 2x - 1 = -1 \implies 2x = 0 \implies x = 0 \] 3. 2x - 1 = 7 \[ 2x - 1 = 7 \implies 2x = 8 \implies x = 4 \] 4. 2x - 1 = -7 \[ 2x - 1 = -7 \implies 2x = -6 \implies x = -3 \] Vậy các giá trị của x để phân số $\frac{4x+5}{2x-1}$ có giá trị là một số nguyên là: x = 1, x = 0, x = 4, x = -3. Đáp số: x = 1, 0, 4, -3.