Cho tam giác ABC trên cạnh bc lấy điểm M sao cho 4MB bằng 7MC. Tính AM theo AB,AC

Question

Anh Quân Nguyễn · Accepted Answer

Tỉ số MB : MC = 7 : 4 ⟹ MB = \frac{7}{11} BC,\; MC = \frac{4}{11} BC.
Áp dụng Định lý Stewart:
AB^2 \cdot MC + AC^2 \cdot MB = AM^2 \cdot BC + MB \cdot MC \cdot BC.
Thay vào, rút gọn là được!

Nếu cần, bạn cũng có thể dùng Định lý Cos để thay BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 AB \cdot AC \cos A nếu biết góc A.

Timi · Answer

Để tính AM theo AB và AC, ta sẽ sử dụng phương pháp tọa độ trong tam giác. Ta đặt B(0,0), C(1,0) và A(x,y).

Trước tiên, ta cần xác định tọa độ của điểm M trên cạnh BC sao cho 4MB = 7MC.

Gọi M có tọa độ (m,0). Ta có:
$$ MB = m $$
$$ MC = 1 - m $$

Theo đề bài, ta có:
$$ 4MB = 7MC $$
$$ 4m = 7(1 - m) $$
$$ 4m = 7 - 7m $$
$$ 11m = 7 $$
$$ m = \frac{7}{11} $$

Vậy tọa độ của M là $\left(\frac{7}{11}, 0\right)$.

Bây giờ, ta tính AM. Tọa độ của A là (x,y), tọa độ của M là $\left(\frac{7}{11}, 0\right)$.

Ta sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm:
$$ AM = \sqrt{\left(x - \frac{7}{11}\right)^2 + y^2} $$

Tiếp theo, ta cần biểu thị x và y theo AB và AC. Ta biết rằng:
$$ AB = \sqrt{x^2 + y^2} $$
$$ AC = \sqrt{(x-1)^2 + y^2} $$

Ta sẽ sử dụng phương pháp tọa độ để biểu thị x và y theo AB và AC. Ta có:
$$ x^2 + y^2 = AB^2 $$
$$ (x-1)^2 + y^2 = AC^2 $$

Giải hệ phương trình này để tìm x và y, sau đó thay vào biểu thức của AM.

Từ phương trình thứ hai:
$$ x^2 - 2x + 1 + y^2 = AC^2 $$
$$ AB^2 - 2x + 1 = AC^2 $$
$$ 2x = AB^2 - AC^2 + 1 $$
$$ x = \frac{AB^2 - AC^2 + 1}{2} $$

Thay x vào phương trình đầu tiên:
$$ \left(\frac{AB^2 - AC^2 + 1}{2}\right)^2 + y^2 = AB^2 $$
$$ y^2 = AB^2 - \left(\frac{AB^2 - AC^2 + 1}{2}\right)^2 $$

Cuối cùng, thay x và y vào biểu thức của AM:
$$ AM = \sqrt{\left(\frac{AB^2 - AC^2 + 1}{2} - \frac{7}{11}\right)^2 + \left(AB^2 - \left(\frac{AB^2 - AC^2 + 1}{2}\right)^2\right)} $$

Đây là biểu thức cuối cùng của AM theo AB và AC.