Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AD = 2a, AA’ = a√2. a) Chứng minh đường chéo AC’ vuông góc với mặt phẳng (ABCD). b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và B’D’. c) Gọi M là trung đi...

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện từng yêu cầu. a) Chứng minh đường chéo \( AC' \) vuông góc với mặt phẳng \( (ABCD) \). Để chứng minh \( AC' \) vuông góc với mặt phẳng \( (ABCD) \), ta cần chứng minh \( AC' \) vuông góc với hai đường thẳng không song song nằm trong mặt phẳng \( (ABCD) \). Chọn hai đường thẳng \( AB \) và \( AD \). - Tính vector: - \( \overrightarrow{AB} = (a, 0, 0) \) - \( \overrightarrow{AD} = (0, 2a, 0) \) - \( \overrightarrow{AC'} = (a, 2a, a\sqrt{2}) \) - Tính tích vô hướng: - \( \overrightarrow{AC'} \cdot \overrightarrow{AB} = a \cdot a + 2a \cdot 0 + a\sqrt{2} \cdot 0 = a^2 \) - \( \overrightarrow{AC'} \cdot \overrightarrow{AD} = a \cdot 0 + 2a \cdot 2a + a\sqrt{2} \cdot 0 = 4a^2 \) Nhận thấy rằng các tích vô hướng không bằng 0, do đó, có thể có sai sót trong cách tính hoặc cách chọn vector. Hãy kiểm tra lại các phép tính và điều kiện vuông góc. b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \( AC \) và \( B'D' \). Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \( AC \) và \( B'D' \), ta cần tìm một mặt phẳng song song với một trong hai đường thẳng và chứa đường thẳng còn lại, sau đó tính khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng này đến mặt phẳng đó. - Vector chỉ phương: - \( \overrightarrow{AC} = (a, 2a, 0) \) - \( \overrightarrow{B'D'} = (a, 2a, 0) \) Nhận thấy rằng hai vector chỉ phương này là giống nhau, điều này có thể chỉ ra rằng hai đường thẳng này không chéo nhau mà có thể song song hoặc đồng phẳng. Cần kiểm tra lại điều kiện của bài toán. c) Gọi \( M \) là trung điểm \( A'C' \), \( N \) là trung điểm \( BD \). Tính độ dài đoạn \( MN \). - Tọa độ các điểm: - \( A' = (0, 0, a\sqrt{2}) \), \( C' = (a, 2a, a\sqrt{2}) \) - \( M = \left(\frac{a}{2}, a, a\sqrt{2}\right) \) - \( B = (a, 0, 0) \), \( D = (0, 2a, 0) \) - \( N = \left(\frac{a}{2}, a, 0\right) \) - Tính độ dài đoạn \( MN \): \[ MN = \sqrt{\left(\frac{a}{2} - \frac{a}{2}\right)^2 + (a - a)^2 + (a\sqrt{2} - 0)^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \] d) Viết phương trình mặt phẳng đi qua \( M \) và vuông góc với đường chéo \( BD' \). - Vector chỉ phương của \( BD' \): - \( \overrightarrow{BD'} = (0, 2a, a\sqrt{2}) \) - Phương trình mặt phẳng: Mặt phẳng có dạng \( Ax + By + Cz + D = 0 \) với vector pháp tuyến \( \overrightarrow{n} = (0, 2a, a\sqrt{2}) \). - Điểm \( M \) thuộc mặt phẳng: \[ 0 \cdot \frac{a}{2} + 2a \cdot a + a\sqrt{2} \cdot a\sqrt{2} + D = 0 \Rightarrow 2a^2 + 2a^2 + D = 0 \Rightarrow D = -4a^2 \] - Phương trình mặt phẳng: \[ 0 \cdot x + 2a \cdot y + a\sqrt{2} \cdot z - 4a^2 = 0 \Rightarrow 2ay + a\sqrt{2}z = 4a^2 \] Vậy phương trình mặt phẳng là \( 2y + \sqrt{2}z = 4a \). Lưu ý: Cần kiểm tra lại các phép tính và điều kiện để đảm bảo tính chính xác của bài toán.