giúp tớ với

Bài 6: Để xác định tọa độ giao điểm của hai đường thẳng, ta cần giải hệ phương trình tương ứng với hai đường thẳng đó. a) Đường thẳng $(d): 2x - y = 3$ và $(d^\prime): x + 2y = 4$ Ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} 2x - y = 3 \\ x + 2y = 4 \end{cases} \] Bước 1: Biểu diễn $y$ theo $x$ từ phương trình thứ nhất: \[ y = 2x - 3 \] Bước 2: Thay $y = 2x - 3$ vào phương trình thứ hai: \[ x + 2(2x - 3) = 4 \] Bước 3: Giải phương trình: \[ x + 4x - 6 = 4 \\ 5x - 6 = 4 \\ 5x = 10 \\ x = 2 \] Bước 4: Thay $x = 2$ vào biểu thức $y = 2x - 3$: \[ y = 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1 \] Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là $(2, 1)$. b) Đường thẳng $(d): 2x + y = 2$ và $(d^\prime): x + \frac{1}{2}y = 1$ Ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} 2x + y = 2 \\ x + \frac{1}{2}y = 1 \end{cases} \] Bước 1: Biểu diễn $y$ theo $x$ từ phương trình thứ nhất: \[ y = 2 - 2x \] Bước 2: Thay $y = 2 - 2x$ vào phương trình thứ hai: \[ x + \frac{1}{2}(2 - 2x) = 1 \] Bước 3: Giải phương trình: \[ x + 1 - x = 1 \\ 1 = 1 \] Phương trình này luôn đúng với mọi giá trị của $x$, điều này cho thấy hai đường thẳng trùng nhau. Vậy hai đường thẳng trùng nhau và có vô số giao điểm. Bài 7: a) Thay $m=1$ vào hệ phương trình ta được: $\left\{\begin{array}{l}x-y=3\\2x+y=9\end{array}\right.$ Cộng vế theo vế hai phương trình của hệ ta được: $3x=12$ Suy ra $x=4$. Thay $x=4$ vào phương trình $x-y=3$ ta được $y=1$ Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $(x,y)=(4,1)$ b) Ta có: $\left\{\begin{array}{l}mx-y=3\\2x+my=9\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}mx-y=3\\2x+my=9\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}mx-y=3\\(2+m)x=12\end{array}\right.$ Hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi $2+m\ne 0$ hay $m\ne -2$ Khi đó, ta có $x=\frac{12}{2+m}$ Thay $x=\frac{12}{2+m}$ vào phương trình $mx-y=3$ ta được $y=m.\frac{12}{2+m}-3=\frac{12m-3(2+m)}{2+m}=\frac{9m-6}{2+m}$ Ta có $A=3x-y=3.\frac{12}{2+m}-\frac{9m-6}{2+m}=\frac{36-9m+6}{2+m}=\frac{42-9m}{2+m}$ Biểu thức $A=\frac{42-9m}{2+m}$ nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi $2+m$ là ước của $42-9m$ Hay $2+m$ là ước của $42-9m-(2+m)=40-10m$ Mà $2+m$ là ước của $40-10m$ nên $2+m$ là ước của $40-10m-(40-10m)=0$ Do đó, $2+m$ là ước của 0 hay $2+m$ là số nguyên khác 0 Vậy $m$ là số nguyên thỏa mãn $m\ne -2$ Bài 8: a) Thay $m=\sqrt2$ vào hệ phương trình ta được: $\left\{\begin{array}{l}(\sqrt2-1)x-y=2\\\sqrt2x+y=\sqrt2\end{array}\right.$ Cộng vế theo vế hai phương trình của hệ ta được: $(\sqrt2-1+\sqrt2)x=2+\sqrt2$ $\Leftrightarrow(2\sqrt2-1)x=2+\sqrt2$ $\Leftrightarrow x=\frac{2+\sqrt2}{2\sqrt2-1}=\frac{(2+\sqrt2)(2\sqrt2+1)}{(2\sqrt2-1)(2\sqrt2+1)}=\frac{4\sqrt2+2+4+2\sqrt2}{7}=\frac{6\sqrt2+6}{7}=\frac{6(\sqrt2+1)}{7}$ Thay $x=\frac{6(\sqrt2+1)}{7}$ vào phương trình $\sqrt2x+y=\sqrt2$ ta được: $\sqrt2.\frac{6(\sqrt2+1)}{7}+y=\sqrt2$ $\Leftrightarrow y=\sqrt2-\frac{6(\sqrt2+1)}{7}=\frac{7\sqrt2-6\sqrt2-6}{7}=\frac{\sqrt2-6}{7}$ Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $(x,y)=(\frac{6(\sqrt2+1)}{7},\frac{\sqrt2-6}{7})$ khi $m=\sqrt2.$ b) Ta có: $\left\{\begin{array}{l}(m-1)x-y=2\\mx+y=m\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}(m-1)x-y=2\\(m-1)x+y=m-1\end{array}\right.$ Cộng vế theo vế hai phương trình của hệ ta được: $2(m-1)x=m+1$ Nếu $m\ne1$ thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất: $x=\frac{m+1}{2(m-1)}$ Thay $x=\frac{m+1}{2(m-1)}$ vào phương trình $mx+y=m$ ta được: $y=m-m.\frac{m+1}{2(m-1)}=\frac{2m(m-1)-m(m+1)}{2(m-1)}=\frac{m^2-3m}{2(m-1)}$ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x,y)=(\frac{m+1}{2(m-1)},\frac{m^2-3m}{2(m-1)})$ Theo đề bài ta có: $x+y>0$ $\Leftrightarrow\frac{m+1}{2(m-1)}+\frac{m^2-3m}{2(m-1)}>0$ $\Leftrightarrow\frac{m^2-2m+1}{2(m-1)}>0$ $\Leftrightarrow\frac{(m-1)^2}{2(m-1)}>0$ $\Leftrightarrow\frac{m-1}{2}>0$ $\Leftrightarrow m>1$ Vậy $m>1$ thì hệ phương trình đã cho có nghiệm $(x,y)$ duy nhất thỏa điều kiện $x+y>0.$