Giải hộ mình các câu này với ạ

Chúng ta sẽ giải từng bài toán một cách chi tiết. Bài toán 1 Yêu cầu: Tìm ba số \(x, y, z\) biết \(\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5}\) và \(2x - y + 3z = -48\). Giải: 1. Đặt ẩn số: Gọi \(\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5} = k\). Từ đó, ta có: \[ x = 2k, \quad y = 3k, \quad z = 5k \] 2. Thay vào phương trình: Thay các giá trị của \(x, y, z\) vào phương trình \(2x - y + 3z = -48\): \[ 2(2k) - 3k + 3(5k) = -48 \] \[ 4k - 3k + 15k = -48 \] \[ 16k = -48 \] 3. Giải phương trình: Chia cả hai vế cho 16: \[ k = -3 \] 4. Tìm giá trị của \(x, y, z\): Thay \(k = -3\) vào các biểu thức của \(x, y, z\): \[ x = 2k = 2(-3) = -6 \] \[ y = 3k = 3(-3) = -9 \] \[ z = 5k = 5(-3) = -15 \] Vậy, ba số cần tìm là \(x = -6\), \(y = -9\), \(z = -15\). Bài toán 2 Yêu cầu: Ba đội xe vận chuyển cùng một khối lượng hàng hóa đến ba trạm giao hàng. Đội thứ nhất hoàn thành việc vận chuyển trong 4 ngày, đội thứ hai trong 6 ngày, đội thứ ba trong 8 ngày. Biết rằng đội thứ nhất có nhiều hơn đội thứ hai 6 xe và năng suất của mỗi xe là như nhau. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu xe? Giải: 1. Đặt ẩn số: Gọi số xe của đội thứ hai là \(x\) (điều kiện: \(x > 0\)). Số xe của đội thứ nhất là \(x + 6\). Gọi số xe của đội thứ ba là \(y\). 2. Lập phương trình: Vì năng suất của mỗi xe là như nhau, ta có thể coi năng suất của mỗi xe là 1 đơn vị hàng hóa mỗi ngày. Tổng khối lượng hàng hóa là \(4(x + 6) = 6x = 8y\). 3. Giải hệ phương trình: Từ \(4(x + 6) = 6x\), ta có: \[ 4x + 24 = 6x \] \[ 24 = 2x \] \[ x = 12 \] Thay \(x = 12\) vào \(8y = 6x\): \[ 8y = 6 \times 12 \] \[ 8y = 72 \] \[ y = 9 \] 4. Kết luận: Số xe của đội thứ nhất là \(x + 6 = 12 + 6 = 18\). Số xe của đội thứ hai là \(x = 12\). Số xe của đội thứ ba là \(y = 9\). Vậy, đội thứ nhất có 18 xe, đội thứ hai có 12 xe, và đội thứ ba có 9 xe. Bài 2: 1) Thu gọn đa thức \( P(x) \): \( P(x) = -4x^4 + 2x - 1 + 2x^4 + 3x^3 + 2 - x \) Gom các hạng tử đồng dạng: \( P(x) = (-4x^4 + 2x^4) + 3x^3 + (2x - x) + (-1 + 2) \) \( P(x) = -2x^4 + 3x^3 + x + 1 \) Sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến: \( P(x) = -2x^4 + 3x^3 + x + 1 \) Hệ số cao nhất của đa thức \( P(x) \) là \(-2\) (hệ số của \( x^4 \)). Hệ số tự do của đa thức \( P(x) \) là \( 1 \). 2) Tính \( N(x) - M(x) \): \( N(x) = 2x^3 + x^2 - 5 \) \( M(x) = x^2 - 4 \) \( N(x) - M(x) = (2x^3 + x^2 - 5) - (x^2 - 4) \) Gom các hạng tử đồng dạng: \( N(x) - M(x) = 2x^3 + x^2 - 5 - x^2 + 4 \) \( N(x) - M(x) = 2x^3 + (x^2 - x^2) + (-5 + 4) \) \( N(x) - M(x) = 2x^3 - 1 \) 3) Tính \( N(x) \cdot M(x) \): \( N(x) = 2x^3 + x^2 - 5 \) \( M(x) = x^2 - 4 \) Nhân đa thức \( N(x) \) với đa thức \( M(x) \): \( N(x) \cdot M(x) = (2x^3 + x^2 - 5)(x^2 - 4) \) Phân phối các hạng tử: \( N(x) \cdot M(x) = 2x^3 \cdot x^2 + 2x^3 \cdot (-4) + x^2 \cdot x^2 + x^2 \cdot (-4) - 5 \cdot x^2 - 5 \cdot (-4) \) \( N(x) \cdot M(x) = 2x^5 - 8x^3 + x^4 - 4x^2 - 5x^2 + 20 \) Gom các hạng tử đồng dạng: \( N(x) \cdot M(x) = 2x^5 + x^4 - 8x^3 - 9x^2 + 20 \) 4) Tìm nghiệm của đa thức \( M(x) \): \( M(x) = x^2 - 4 \) Để tìm nghiệm của đa thức \( M(x) \), ta giải phương trình \( M(x) = 0 \): \( x^2 - 4 = 0 \) \( x^2 = 4 \) \( x = 2 \) hoặc \( x = -2 \) Vậy nghiệm của đa thức \( M(x) \) là \( x = 2 \) và \( x = -2 \). Bài 3: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh $\Delta ADB = \Delta EDC$ và $AB // EC$ 1. Chứng minh $\Delta ADB = \Delta EDC$: - Ta có $DA = DE$ (theo giả thiết). - $DB$ là cạnh chung của hai tam giác $\Delta ADB$ và $\Delta EDC$. - Vì $AD$ là trung tuyến của $\Delta ABC$, nên $AB = AC$. Do đó, theo trường hợp cạnh-cạnh-cạnh (c.c.c), ta có $\Delta ADB = \Delta EDC$. 2. Chứng minh $AB // EC$: - Từ $\Delta ADB = \Delta EDC$, ta có $\angle ADB = \angle EDC$. - Hai góc này là hai góc so le trong khi $AB$ và $EC$ là hai đường thẳng cắt bởi đường thẳng $BD$. Do đó, $AB // EC$. b) Chứng minh D là trung điểm MN 1. Xét M là trung điểm của AB: - Theo giả thiết, $M$ là trung điểm của $AB$, do đó $AM = MB$. 2. Xét đường thẳng MD cắt CE tại N: - Ta cần chứng minh $D$ là trung điểm của $MN$. - Từ $\Delta ADB = \Delta EDC$, ta có $AD = DE$ và $DB = DC$. - Do đó, $D$ là trung điểm của $BE$. 3. Chứng minh D là trung điểm của MN: - Vì $M$ là trung điểm của $AB$ và $D$ là trung điểm của $BE$, theo tính chất đường trung bình trong tam giác, $D$ cũng là trung điểm của $MN$. c) Chứng minh ba đường thẳng AD, BK và MH đồng quy 1. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AN và AC: - $H$ là trung điểm của $AN$, do đó $AH = HN$. - $K$ là trung điểm của $AC$, do đó $AK = KC$. 2. Chứng minh ba đường thẳng AD, BK và MH đồng quy: - Xét tam giác $ABC$ với $M$ là trung điểm của $AB$ và $K$ là trung điểm của $AC$. - Đường thẳng $BK$ là đường trung tuyến của tam giác $ABC$. - Xét tam giác $ANM$ với $H$ là trung điểm của $AN$ và $M$ là trung điểm của $AB$. - Đường thẳng $MH$ là đường trung tuyến của tam giác $ANM$. 3. Sử dụng tính chất đồng quy của các đường trung tuyến: - Trong tam giác $ABC$, các đường trung tuyến $AD$, $BK$, và $MH$ đồng quy tại một điểm gọi là trọng tâm của tam giác. Như vậy, ba đường thẳng $AD$, $BK$, và $MH$ đồng quy.