Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... 2 Ví dụ 11. Cho a, 5, y là nghiệm của $x^3-3x^2+1.$,,a) Tìm đa thức bậc ba có nghiệm là: $\alpha+3,\beta+3,$ và $\gamma+3.$,b) Tìm đa thức bậc ba có nghiệm là $\frac1{\alpha+3},\frac1{\beta+3},$ và $\frac1{\gamma+3}.$,c) Tính $\frac1{\alpha+3}+\frac1{\beta+3}+\frac1{\gamma+3}.$,d) Tìm đa thức bậc ba có nghiệm là $\alpha^2,\beta^2.$ và $\gamma^2.$,e) Tìm công thức truy hồi của dãy số $x_n=\alpha^n+\beta^n+\gamma^n,$ và dùng nó để tính $\alpha^5+\beta^5+\gamma^5$

Question

Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... 2 Ví dụ 11. Cho a, 5, y là nghiệm của $x^3-3x^2+1.$,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/dev/public/illustration_images/596900016f41444d8e59c2ca8d9c624a.jpg />,a) Tìm đa thức bậc ba có nghiệm là: $\alpha+3,\beta+3,$ và $\gamma+3.$,b) Tìm đa thức bậc ba có nghiệm là $\frac1{\alpha+3},\frac1{\beta+3},$ và $\frac1{\gamma+3}.$,c) Tính $\frac1{\alpha+3}+\frac1{\beta+3}+\frac1{\gamma+3}.$,d) Tìm đa thức bậc ba có nghiệm là $\alpha^2,\beta^2.$ và $\gamma^2.$,e) Tìm công thức truy hồi của dãy số $x_n=\alpha^n+\beta^n+\gamma^n,$ và dùng nó để tính $\alpha^5+\beta^5+\gamma^5$

Timi · Accepted Answer

Ví dụ 11:
Để giải bài toán này, ta cần thực hiện từng phần một cách chi tiết.

a) Tìm đa thức bậc ba có nghiệm là: $\alpha+3,\beta+3,$ và $\gamma+3.$

Cho đa thức ban đầu là $P(x) = x^3 - 3x^2 + 1$ với các nghiệm $\alpha, \beta, \gamma$.

Ta cần tìm đa thức $Q(x)$ có nghiệm là $\alpha+3, \beta+3, \gamma+3$.

Đặt $y = x - 3$, khi đó $x = y + 3$.

Thay vào $P(x)$, ta có:
$$
P(y+3) = (y+3)^3 - 3(y+3)^2 + 1
$$

Tính từng phần:
$$
(y+3)^3 = y^3 + 9y^2 + 27y + 27
$$
$$
3(y+3)^2 = 3(y^2 + 6y + 9) = 3y^2 + 18y + 27
$$

Thay vào:
$$
P(y+3) = y^3 + 9y^2 + 27y + 27 - 3y^2 - 18y - 27 + 1
$$
$$
= y^3 + 6y^2 + 9y + 1
$$

Vậy đa thức cần tìm là $Q(x) = x^3 + 6x^2 + 9x + 1$.

b) Tìm đa thức bậc ba có nghiệm là $\frac{1}{\alpha+3},\frac{1}{\beta+3},$ và $\frac{1}{\gamma+3}.$

Đặt $z = \frac{1}{x}$, khi đó $x = \frac{1}{z}$.

Thay vào $Q(x)$, ta có:
$$
Q\left(\frac{1}{z}\right) = \left(\frac{1}{z}\right)^3 + 6\left(\frac{1}{z}\right)^2 + 9\left(\frac{1}{z}\right) + 1
$$
$$
= \frac{1}{z^3} + \frac{6}{z^2} + \frac{9}{z} + 1
$$

Nhân cả hai vế với $z^3$:
$$
1 + 6z + 9z^2 + z^3 = 0
$$

Vậy đa thức cần tìm là $R(z) = z^3 + 9z^2 + 6z + 1$.

c) Tính $\frac{1}{\alpha+3}+\frac{1}{\beta+3}+\frac{1}{\gamma+3}.$

Tổng các nghiệm của đa thức $R(z)$ là $-$ hệ số của $z^2$ chia cho hệ số của $z^3$.

Vậy:
$$
\frac{1}{\alpha+3}+\frac{1}{\beta+3}+\frac{1}{\gamma+3} = -9
$$

d) Tìm đa thức bậc ba có nghiệm là $\alpha^2,\beta^2,$ và $\gamma^2.$

Sử dụng công thức:
$$
x^2 = \alpha, \beta, \gamma
$$

Đa thức cần tìm là $S(x) = (x - \alpha^2)(x - \beta^2)(x - \gamma^2)$.

Sử dụng các tính chất của nghiệm:
- $\alpha + \beta + \gamma = 3$
- $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 0$
- $\alpha\beta\gamma = -1$

Ta có:
- Tổng các nghiệm: $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (\alpha + \beta + \gamma)^2 - 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha) = 9$
- Tích các nghiệm: $(\alpha\beta\gamma)^2 = 1$

Vậy đa thức cần tìm là $S(x) = x^3 - 9x^2 + 0x - 1$.

e) Tìm công thức truy hồi của dãy số $x_n=\alpha^n+\beta^n+\gamma^n,$ và dùng nó để tính $\alpha^5+\beta^5+\gamma^5$.

Sử dụng định lý Viète:
- $x_1 = \alpha + \beta + \gamma = 3$
- $x_2 = \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 9$

Công thức truy hồi:
$$
x_n = (\alpha + \beta + \gamma)x_{n-1} - (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)x_{n-2} + \alpha\beta\gamma x_{n-3}
$$
$$
x_n = 3x_{n-1} - 0x_{n-2} - x_{n-3}
$$

Tính $x_3$:
$$
x_3 = 3x_2 - x_0 = 3 \times 9 - 3 = 24
$$

Tính $x_4$:
$$
x_4 = 3x_3 - x_1 = 3 \times 24 - 3 = 69
$$

Tính $x_5$:
$$
x_5 = 3x_4 - x_2 = 3 \times 69 - 9 = 198
$$

Vậy $\alpha^5 + \beta^5 + \gamma^5 = 198$.