làm và phân tích rõ ràng các câu trên

Bài 1: (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Bài toán: Gọi \( S \) là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \( m \) sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \( f(x) = |x^3 - 3x + m| \) trên đoạn \([0; 3]\) bằng 16. Tính tổng tất cả các phần tử của \( S \). Giải: 1. Tìm giá trị lớn nhất của \( g(x) = x^3 - 3x \) trên đoạn \([0; 3]\): - Đạo hàm \( g'(x) = 3x^2 - 3 \). - Giải \( g'(x) = 0 \): \[ 3x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1 \text{ hoặc } x = -1 \] - Vì \( x \in [0; 3] \), nên chỉ xét \( x = 1 \). - Tính giá trị tại các điểm \( x = 0, 1, 3 \): \[ g(0) = 0^3 - 3 \cdot 0 = 0 \] \[ g(1) = 1^3 - 3 \cdot 1 = -2 \] \[ g(3) = 3^3 - 3 \cdot 3 = 27 - 9 = 18 \] - Vậy giá trị lớn nhất của \( g(x) \) trên \([0; 3]\) là 18 và giá trị nhỏ nhất là -2. 2. Xác định \( m \) sao cho \( |x^3 - 3x + m| \leq 16 \) trên đoạn \([0; 3]\): - Ta có: \[ -16 \leq x^3 - 3x + m \leq 16 \] - Thay \( x = 0 \): \[ -16 \leq 0 + m \leq 16 \implies -16 \leq m \leq 16 \] - Thay \( x = 1 \): \[ -16 \leq -2 + m \leq 16 \implies -14 \leq m \leq 18 \] - Thay \( x = 3 \): \[ -16 \leq 18 + m \leq 16 \implies -34 \leq m \leq -2 \] 3. Kết hợp các khoảng giá trị của \( m \): - Từ \( -16 \leq m \leq 16 \) và \( -14 \leq m \leq 18 \) và \( -34 \leq m \leq -2 \): \[ -16 \leq m \leq -2 \] 4. Tổng các phần tử của \( S \): - Tập hợp \( S = \{-16, -15, -14, -13, -12, -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2\} \) - Tổng: \[ \sum_{k=-16}^{-2} k = \frac{(-16 + (-2)) \cdot 15}{2} = \frac{-18 \cdot 15}{2} = -135 \] Đáp án: \[ \boxed{-135} \] Bài 2: (THPT Nguyễn Huệ 2018) Bài toán: Cho hàm số \( y = |x^2 + 2x + a - 4| \) (a là tham số). Tìm \( a \) để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \([-2; 1]\) đạt giá trị nhỏ nhất. Giải: 1. Tìm giá trị lớn nhất của \( g(x) = x^2 + 2x + a - 4 \) trên đoạn \([-2; 1]\): - Đạo hàm \( g'(x) = 2x + 2 \). - Giải \( g'(x) = 0 \): \[ 2x + 2 = 0 \implies x = -1 \] - Tính giá trị tại các điểm \( x = -2, -1, 1 \): \[ g(-2) = (-2)^2 + 2(-2) + a - 4 = 4 - 4 + a - 4 = a - 4 \] \[ g(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + a - 4 = 1 - 2 + a - 4 = a - 5 \] \[ g(1) = 1^2 + 2(1) + a - 4 = 1 + 2 + a - 4 = a - 1 \] - Vậy giá trị lớn nhất của \( g(x) \) trên \([-2; 1]\) là \( a - 1 \) và giá trị nhỏ nhất là \( a - 5 \). 2. Xác định \( a \) sao cho \( |x^2 + 2x + a - 4| \leq M \) trên đoạn \([-2; 1]\): - Ta có: \[ -M \leq x^2 + 2x + a - 4 \leq M \] - Thay \( x = -2 \): \[ -M \leq a - 4 \leq M \implies -M \leq a - 4 \leq M \implies 4 - M \leq a \leq 4 + M \] - Thay \( x = -1 \): \[ -M \leq a - 5 \leq M \implies 5 - M \leq a \leq 5 + M \] - Thay \( x = 1 \): \[ -M \leq a - 1 \leq M \implies 1 - M \leq a \leq 1 + M \] 3. Kết hợp các khoảng giá trị của \( a \): - Từ \( 4 - M \leq a \leq 4 + M \) và \( 5 - M \leq a \leq 5 + M \) và \( 1 - M \leq a \leq 1 + M \): \[ 1 - M \leq a \leq 4 + M \] 4. Tìm \( a \) để giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất: - Để \( |x^2 + 2x + a - 4| \) đạt giá trị nhỏ nhất, ta chọn \( a = 3 \). Đáp án: \[ \boxed{3} \] Bài 3: (Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai - Sóc Trăng - 2018) Bài toán: Gọi \( S \) là tập hợp tất cả các giá trị của tham số \( m \) sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \( y = |x^3 - 3x^2 - 9x + m| \) trên đoạn \([-2; 4]\) bằng 16. Số phần tử của \( S \) là bao nhiêu? Giải: 1. Tìm giá trị lớn nhất của \( g(x) = x^3 - 3x^2 - 9x \) trên đoạn \([-2; 4]\): - Đạo hàm \( g'(x) = 3x^2 - 6x - 9 \). - Giải \( g'(x) = 0 \): \[ 3x^2 - 6x - 9 = 0 \implies x^2 - 2x - 3 = 0 \implies (x - 3)(x + 1) = 0 \implies x = 3 \text{ hoặc } x = -1 \] - Tính giá trị tại các điểm \( x = -2, -1, 3, 4 \): \[ g(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 - 9(-2) = -8 - 12 + 18 = -2 \] \[ g(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) = -1 - 3 + 9 = 5 \] \[ g(3) = 3^3 - 3(3)^2 - 9(3) = 27 - 27 - 27 = -27 \] \[ g(4) = 4^3 - 3(4)^2 - 9(4) = 64 - 48 - 36 = -20 \] - Vậy giá trị lớn nhất của \( g(x) \) trên \([-2; 4]\) là 5 và giá trị nhỏ nhất là -27. 2. Xác định \( m \) sao cho \( |x^3 - 3x^2 - 9x + m| \leq 16 \) trên đoạn \([-2; 4]\): - Ta có: \[ -16 \leq x^3 - 3x^2 - 9x + m \leq 16 \] - Thay \( x = -2 \): \[ -16 \leq -2 + m \leq 16 \implies -14 \leq m \leq 18 \] - Thay \( x = -1 \): \[ -16 \leq 5 + m \leq 16 \implies -21 \leq m \leq 11 \] - Thay \( x = 3 \): \[ -16 \leq -27 + m \leq 16 \implies 11 \leq m \leq 43 \] - Thay \( x = 4 \): \[ -16 \leq -20 + m \leq 16 \implies 4 \leq m \leq 36 \] 3. Kết hợp các khoảng giá trị của \( m \): - Từ \( -14 \leq m \leq 18 \) và \( -21 \leq m \leq 11 \) và \( 11 \leq m \leq 43 \) và \( 4 \leq m \leq 36 \): \[ 11 \leq m \leq 18 \] 4. Số phần tử của \( S \): - Tập hợp \( S = \{11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18\} \) - Số phần tử: \[ 8 \] Đáp án: \[ \boxed{8} \] Bài 4: (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2020) Bài toán: Gọi \( S \) là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số thực \( m \) sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \( y = |\frac{1}{4}x^4 - 14x^2 + 48x + m - 30| \) trên đoạn \([0; 2]\) không vượt quá 30. Tổng giá trị các phần tử của tập hợp \( S \) bằng bao nhiêu? Giải: 1. Tìm giá trị lớn nhất của \( g(x) = \frac{1}{4}x^4 - 14x^2 + 48x \) trên đoạn \([0; 2]\): - Đạo hàm \( g'(x) = x^3 - 28x + 48 \). - Giải \( g'(x) = 0 \): \[ x^3 - 28x + 48 = 0 \] - Ta thử các giá trị \( x = 0, 1, 2 \): \[ g(0) = \frac{1}{4}(0)^4 - 14(0)^2 + 48(0) = 0 \] \[ g(1) = \frac{1}{4}(1)^4 - 14(1)^2 + 48(1) = \frac{1}{4} - 14 + 48 = 34.25 \] \[ g(2) = \frac{1}{4}(2)^4 - 14(2)^2 + 48(2) = 4 - 56 + 96 = 44 \] - Vậy giá trị lớn nhất của \( g(x) \) trên \([0; 2]\) là 44 và giá trị nhỏ nhất là 0. 2. Xác định \( m \) sao cho \( |\frac{1}{4}x^4 - 14x^2 + 48x + m - 30| \leq 30 \) trên đoạn \([0; 2]\): - Ta có: \[ -30 \leq \frac{1}{4}x^4 - 14x^2 + 48x + m - 30 \leq 30 \] - Thay \( x = 0 \): \[ -30 \leq 0 + m - 30 \leq 30 \implies 0 \leq m \leq 60 \] - Thay \( x = 1 \): \[ -30 \leq 34.25 + m - 30 \leq 30 \implies -4.25 \leq m \leq 25.75 \] - Thay \( x = 2 \): \[ -30 \leq 44 + m - 30 \leq 30 \implies -4 \leq m \leq 16 \] 3. Kết hợp các khoảng giá trị của \( m \): - Từ \( 0 \leq m \leq 60 \) và \( -4.25 \leq m \leq 25.75 \) và \( -4 \leq m \leq 16 \): \[ 0 \leq m \leq 16 \] 4. Tổng các phần tử của \( S \): - Tập hợp \( S = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16\} \) - Tổng: \[ \sum_{k=0}^{16} k = \frac{(0 + 16) \cdot 17}{2} = \frac{16 \cdot 17}{2} = 136 \] Đáp án: \[ \boxed{136} \]