làm và phân tích các câu trên

Câu 28: Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( y = 2\cos x - \frac{4}{3}\cos^3 x \) trên đoạn \([0; \pi]\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx} \left( 2\cos x - \frac{4}{3}\cos^3 x \right) \] Sử dụng quy tắc đạo hàm: \[ y' = -2\sin x + \frac{4}{3} \cdot 3\cos^2 x \cdot (-\sin x) \] \[ y' = -2\sin x - 4\cos^2 x \sin x \] \[ y' = -2\sin x (1 + 2\cos^2 x) \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ -2\sin x (1 + 2\cos^2 x) = 0 \] Điều này xảy ra khi: \[ \sin x = 0 \quad \text{hoặc} \quad 1 + 2\cos^2 x = 0 \] Vì \( 1 + 2\cos^2 x \geq 1 \) nên \( 1 + 2\cos^2 x = 0 \) không có nghiệm thực. Do đó, chỉ cần xét: \[ \sin x = 0 \] Trên đoạn \([0; \pi]\), các giá trị của \( x \) thỏa mãn \( \sin x = 0 \) là: \[ x = 0 \quad \text{và} \quad x = \pi \] 3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và tại các đầu mút của đoạn: - Tại \( x = 0 \): \[ y(0) = 2\cos 0 - \frac{4}{3}\cos^3 0 = 2 \cdot 1 - \frac{4}{3} \cdot 1^3 = 2 - \frac{4}{3} = \frac{6}{3} - \frac{4}{3} = \frac{2}{3} \] - Tại \( x = \pi \): \[ y(\pi) = 2\cos \pi - \frac{4}{3}\cos^3 \pi = 2 \cdot (-1) - \frac{4}{3} \cdot (-1)^3 = -2 + \frac{4}{3} = -\frac{6}{3} + \frac{4}{3} = -\frac{2}{3} \] 4. So sánh các giá trị đã tính để tìm giá trị lớn nhất: Các giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và đầu mút là: \[ y(0) = \frac{2}{3}, \quad y(\pi) = -\frac{2}{3} \] Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \([0; \pi]\) là: \[ \max_{[0; \pi]} y = \frac{2}{3} \] Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{\max_{[0; \pi]} y = \frac{2}{3}} \] Câu 29: Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số \( y = \frac{3\sin x + 2}{\sin x + 1} \) trên đoạn \([0; \frac{\pi}{2}]\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm ĐKXĐ: Hàm số \( y = \frac{3\sin x + 2}{\sin x + 1} \) có mẫu số là \( \sin x + 1 \). Vì \( \sin x \) nằm trong khoảng \([-1, 1]\), nên \( \sin x + 1 \geq 0 \) trên đoạn \([0; \frac{\pi}{2}]\). Do đó, hàm số luôn xác định trên đoạn này. 2. Tìm GTLN và GTNN: Ta sẽ xét hàm số \( y = \frac{3\sin x + 2}{\sin x + 1} \) trên đoạn \([0; \frac{\pi}{2}]\). - Tại \( x = 0 \): \[ y(0) = \frac{3\sin 0 + 2}{\sin 0 + 1} = \frac{2}{1} = 2 \] - Tại \( x = \frac{\pi}{2} \): \[ y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{3\sin \frac{\pi}{2} + 2}{\sin \frac{\pi}{2} + 1} = \frac{3 \cdot 1 + 2}{1 + 1} = \frac{5}{2} = 2.5 \] - Xét đạo hàm để tìm cực trị: \[ y' = \frac{(3\cos x)(\sin x + 1) - (3\sin x + 2)(\cos x)}{(\sin x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{3\cos x \sin x + 3\cos x - 3\sin x \cos x - 2\cos x}{(\sin x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{\cos x}{(\sin x + 1)^2} \] Đặt \( y' = 0 \): \[ \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} \] Ta đã xét giá trị tại \( x = \frac{\pi}{2} \) ở trên. 3. So sánh các giá trị: - Tại \( x = 0 \): \( y = 2 \) - Tại \( x = \frac{\pi}{2} \): \( y = 2.5 \) Vậy, giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số là \( M = 2.5 \) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số là \( m = 2 \). 4. Tính \( M^2 + m^2 \): \[ M^2 + m^2 = (2.5)^2 + 2^2 = 6.25 + 4 = 10.25 = \frac{41}{4} \] Đáp án đúng là: \[ C. \frac{41}{4} \] Câu 30: Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = 3x + \frac{4}{x^2} \) trên khoảng \( (0; +\infty) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = 3 - \frac{8}{x^3} \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: 3 - \frac{8}{x^3} = 0 \implies 3 = \frac{8}{x^3} \implies x^3 = \frac{8}{3} \implies x = \sqrt[3]{\frac{8}{3}} = \sqrt[3]{\frac{8}{3}} 3. Kiểm tra dấu của đạo hàm để xác định tính đơn điệu của hàm số: - Khi \( x < \sqrt[3]{\frac{8}{3}} \), \( y' < 0 \) (hàm số giảm). - Khi \( x > \sqrt[3]{\frac{8}{3}} \), \( y' > 0 \) (hàm số tăng). 4. Do đó, tại \( x = \sqrt[3]{\frac{8}{3}} \), hàm số đạt giá trị nhỏ nhất. 5. Tính giá trị của hàm số tại \( x = \sqrt[3]{\frac{8}{3}} \): y\left(\sqrt[3]{\frac{8}{3}}\right) = 3 \cdot \sqrt[3]{\frac{8}{3}} + \frac{4}{\left(\sqrt[3]{\frac{8}{3}}\right)^2} = 3 \cdot \sqrt[3]{\frac{8}{3}} + \frac{4}{\left(\frac{8}{3}\right)^{\frac{2}{3}}} Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác. Câu 31: Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = x - 5 + \frac{1}{x} \) trên khoảng \( (0; +\infty) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = 1 - \frac{1}{x^2} \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ 1 - \frac{1}{x^2} = 0 \implies \frac{1}{x^2} = 1 \implies x^2 = 1 \implies x = 1 \quad (\text{vì } x > 0) \] 3. Xét dấu của đạo hàm \( y' \) trên khoảng \( (0; +\infty) \): - Khi \( 0 < x < 1 \): \[ y' = 1 - \frac{1}{x^2} < 0 \quad (\text{vì } \frac{1}{x^2} > 1) \] - Khi \( x > 1 \): \[ y' = 1 - \frac{1}{x^2} > 0 \quad (\text{vì } \frac{1}{x^2} < 1) \] 4. Kết luận về tính đơn điệu của hàm số: - Hàm số giảm trên khoảng \( (0; 1) \). - Hàm số tăng trên khoảng \( (1; +\infty) \). 5. Do đó, tại \( x = 1 \), hàm số đạt giá trị nhỏ nhất: \[ y(1) = 1 - 5 + \frac{1}{1} = 1 - 5 + 1 = -3 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = x - 5 + \frac{1}{x} \) trên khoảng \( (0; +\infty) \) là \(-3\). Đáp án đúng là: C. -3 Câu 32: Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = x + \frac{4}{x} \) trên khoảng \( (0; +\infty) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = 1 - \frac{4}{x^2} \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ 1 - \frac{4}{x^2} = 0 \implies \frac{4}{x^2} = 1 \implies x^2 = 4 \implies x = 2 \quad (\text{vì } x > 0) \] 3. Xét dấu của đạo hàm \( y' \) để xác định tính đơn điệu của hàm số: - Khi \( x < 2 \): \[ y' = 1 - \frac{4}{x^2} < 0 \quad (\text{vì } \frac{4}{x^2} > 1) \] - Khi \( x > 2 \): \[ y' = 1 - \frac{4}{x^2} > 0 \quad (\text{vì } \frac{4}{x^2} < 1) \] Từ đó suy ra hàm số giảm trên khoảng \( (0; 2) \) và tăng trên khoảng \( (2; +\infty) \). 4. Tính giá trị của hàm số tại điểm tới hạn \( x = 2 \): \[ y(2) = 2 + \frac{4}{2} = 2 + 2 = 4 \] 5. Kết luận: Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại \( x = 2 \) và giá trị nhỏ nhất của hàm số là: \[ m = 4 \] Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{A.~m=4} \] Câu 33: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm giá trị của tham số \( m \) sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = \frac{x + m}{x - 1} \) trên khoảng \([2, 4]\) bằng 3. Bước 1: Tìm ĐKXĐ Hàm số \( y = \frac{x + m}{x - 1} \) có mẫu số \( x - 1 \). Để hàm số xác định, ta cần \( x \neq 1 \). Tuy nhiên, trong khoảng \([2, 4]\), \( x \) không bao giờ bằng 1, nên hàm số luôn xác định trên khoảng này. Bước 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng \([2, 4]\) Ta sẽ tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = \frac{x + m}{x - 1} \) trên khoảng \([2, 4]\). Phương pháp: - Ta sẽ xét đạo hàm của hàm số để tìm điểm cực trị. - Sau đó, so sánh giá trị của hàm số tại các điểm đầu và cuối khoảng và tại các điểm cực trị để tìm giá trị nhỏ nhất. Đạo hàm: \[ y = \frac{x + m}{x - 1} \] \[ y' = \frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + m) \cdot 1}{(x - 1)^2} = \frac{x - 1 - x - m}{(x - 1)^2} = \frac{-1 - m}{(x - 1)^2} \] Xét dấu đạo hàm: \[ y' = \frac{-1 - m}{(x - 1)^2} \] - Nếu \( -1 - m > 0 \) (tức là \( m < -1 \)), thì \( y' < 0 \) trên toàn bộ khoảng \([2, 4]\), hàm số giảm. - Nếu \( -1 - m < 0 \) (tức là \( m > -1 \)), thì \( y' > 0 \) trên toàn bộ khoảng \([2, 4]\), hàm số tăng. So sánh giá trị tại các điểm đầu và cuối khoảng: - Tại \( x = 2 \): \[ y(2) = \frac{2 + m}{2 - 1} = 2 + m \] - Tại \( x = 4 \): \[ y(4) = \frac{4 + m}{4 - 1} = \frac{4 + m}{3} \] Tìm giá trị nhỏ nhất: - Nếu \( m < -1 \), hàm số giảm trên \([2, 4]\), giá trị nhỏ nhất tại \( x = 4 \): \[ \frac{4 + m}{3} = 3 \] \[ 4 + m = 9 \] \[ m = 5 \] (không thỏa mãn \( m < -1 \)) - Nếu \( m > -1 \), hàm số tăng trên \([2, 4]\), giá trị nhỏ nhất tại \( x = 2 \): \[ 2 + m = 3 \] \[ m = 1 \] Kiểm tra các trường hợp: - Nếu \( m = 1 \), hàm số tăng trên \([2, 4]\), giá trị nhỏ nhất tại \( x = 2 \): \[ y(2) = 2 + 1 = 3 \] Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = \frac{x + m}{x - 1} \) trên khoảng \([2, 4]\) bằng 3 khi \( m = 1 \). Do đó, mệnh đề đúng là: \[ D.~1 \leq m < 3 \] Đáp án: \( D.~1 \leq m < 3 \)