Giúp em với ạ

Ví dụ 2: Câu a) Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số \( y = x + \sqrt{x^2 + 1} \). 1. Tiệm cận đứng: - Hàm số \( y = x + \sqrt{x^2 + 1} \) không có mẫu số hoặc biểu thức dưới dấu căn bằng 0 nên không có tiệm cận đứng. 2. Tiệm cận ngang: - Ta xét giới hạn của \( y \) khi \( x \to \pm\infty \): \[ \lim_{x \to \infty} (x + \sqrt{x^2 + 1}) = \lim_{x \to \infty} x + \lim_{x \to \infty} \sqrt{x^2 + 1} \] \[ = \infty + \infty = \infty \] \[ \lim_{x \to -\infty} (x + \sqrt{x^2 + 1}) = \lim_{x \to -\infty} x + \lim_{x \to -\infty} \sqrt{x^2 + 1} \] \[ = -\infty + \infty = \infty \] - Vậy hàm số không có tiệm cận ngang. 3. Tiệm cận xiên: - Ta xét giới hạn của \( \frac{y}{x} \) khi \( x \to \pm\infty \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x + \sqrt{x^2 + 1}}{x} = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x}\right) \] \[ = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}\right) = 1 + 1 = 2 \] \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x + \sqrt{x^2 + 1}}{x} = \lim_{x \to -\infty} \left(1 + \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x}\right) \] \[ = \lim_{x \to -\infty} \left(1 + \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}\right) = 1 + 1 = 2 \] - Vậy tiệm cận xiên của hàm số là \( y = 2x \). Câu b) Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số \( y = x + \sqrt{x^2 - 1} \). 1. Tiệm cận đứng: - Hàm số \( y = x + \sqrt{x^2 - 1} \) có điều kiện xác định \( x^2 - 1 \geq 0 \) tức là \( x \leq -1 \) hoặc \( x \geq 1 \). - Do đó, hàm số không có tiệm cận đứng. 2. Tiệm cận ngang: - Ta xét giới hạn của \( y \) khi \( x \to \pm\infty \): \[ \lim_{x \to \infty} (x + \sqrt{x^2 - 1}) = \lim_{x \to \infty} x + \lim_{x \to \infty} \sqrt{x^2 - 1} \] \[ = \infty + \infty = \infty \] \[ \lim_{x \to -\infty} (x + \sqrt{x^2 - 1}) = \lim_{x \to -\infty} x + \lim_{x \to -\infty} \sqrt{x^2 - 1} \] \[ = -\infty + \infty = \infty \] - Vậy hàm số không có tiệm cận ngang. 3. Tiệm cận xiên: - Ta xét giới hạn của \( \frac{y}{x} \) khi \( x \to \pm\infty \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x + \sqrt{x^2 - 1}}{x} = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x}\right) \] \[ = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}\right) = 1 + 1 = 2 \] \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x + \sqrt{x^2 - 1}}{x} = \lim_{x \to -\infty} \left(1 + \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x}\right) \] \[ = \lim_{x \to -\infty} \left(1 + \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}\right) = 1 + 1 = 2 \] - Vậy tiệm cận xiên của hàm số là \( y = 2x \). Kết luận: - Đồ thị hàm số \( y = x + \sqrt{x^2 + 1} \) có tiệm cận xiên là \( y = 2x \). - Đồ thị hàm số \( y = x + \sqrt{x^2 - 1} \) có tiệm cận xiên là \( y = 2x \). Ví dụ 3: Phần a) Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số \( y = \sqrt{16 - x^2} \) Bước 1: Xác định miền xác định (ĐKXĐ) Hàm số \( y = \sqrt{16 - x^2} \) có nghĩa khi biểu thức dưới dấu căn không âm: \[ 16 - x^2 \geq 0 \] \[ x^2 \leq 16 \] \[ -4 \leq x \leq 4 \] Vậy miền xác định của hàm số là \( [-4, 4] \). Bước 2: Kiểm tra tiệm cận đứng Do miền xác định của hàm số là đoạn hữu hạn \([-4, 4]\), hàm số không có tiệm cận đứng. Bước 3: Kiểm tra tiệm cận ngang Tiệm cận ngang xảy ra khi \( x \to \pm\infty \). Tuy nhiên, miền xác định của hàm số chỉ giới hạn trong đoạn \([-4, 4]\), nên không cần kiểm tra tiệm cận ngang. Bước 4: Kiểm tra tiệm cận xiên Tiệm cận xiên xảy ra khi \( x \to \pm\infty \). Tuy nhiên, miền xác định của hàm số chỉ giới hạn trong đoạn \([-4, 4]\), nên không cần kiểm tra tiệm cận xiên. Kết luận: Hàm số \( y = \sqrt{16 - x^2} \) không có đường tiệm cận. Phần b) Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số \( y = \sqrt{25 - x^2} \) Bước 1: Xác định miền xác định (ĐKXĐ) Hàm số \( y = \sqrt{25 - x^2} \) có nghĩa khi biểu thức dưới dấu căn không âm: \[ 25 - x^2 \geq 0 \] \[ x^2 \leq 25 \] \[ -5 \leq x \leq 5 \] Vậy miền xác định của hàm số là \( [-5, 5] \). Bước 2: Kiểm tra tiệm cận đứng Do miền xác định của hàm số là đoạn hữu hạn \([-5, 5]\), hàm số không có tiệm cận đứng. Bước 3: Kiểm tra tiệm cận ngang Tiệm cận ngang xảy ra khi \( x \to \pm\infty \). Tuy nhiên, miền xác định của hàm số chỉ giới hạn trong đoạn \([-5, 5]\), nên không cần kiểm tra tiệm cận ngang. Bước 4: Kiểm tra tiệm cận xiên Tiệm cận xiên xảy ra khi \( x \to \pm\infty \). Tuy nhiên, miền xác định của hàm số chỉ giới hạn trong đoạn \([-5, 5]\), nên không cần kiểm tra tiệm cận xiên. Kết luận: Hàm số \( y = \sqrt{25 - x^2} \) không có đường tiệm cận. Đáp án cuối cùng: a) Hàm số \( y = \sqrt{16 - x^2} \) không có đường tiệm cận. b) Hàm số \( y = \sqrt{25 - x^2} \) không có đường tiệm cận. Ví dụ 4: Câu a) Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số \( y = \frac{\sqrt{2x^2 + 1}}{2x - 1} \). 1. Tiệm cận đứng: - Xét mẫu số \( 2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2} \). - Ta kiểm tra giới hạn của hàm số khi \( x \to \frac{1}{2} \): \[ \lim_{x \to \frac{1}{2}^-} \frac{\sqrt{2x^2 + 1}}{2x - 1} = -\infty \] \[ \lim_{x \to \frac{1}{2}^+} \frac{\sqrt{2x^2 + 1}}{2x - 1} = +\infty \] - Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là \( x = \frac{1}{2} \). 2. Tiệm cận ngang: - Xét giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm \infty \): \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{\sqrt{2x^2 + 1}}{2x - 1} \] - Chia cả tử và mẫu cho \( x \): \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{\sqrt{2x^2 + 1}/|x|}{(2x - 1)/x} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{\sqrt{2 + \frac{1}{x^2}}}{2 - \frac{1}{x}} \] - Khi \( x \to \infty \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2 + \frac{1}{x^2}}}{2 - \frac{1}{x}} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] - Khi \( x \to -\infty \): \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{2 + \frac{1}{x^2}}}{2 - \frac{1}{x}} = \frac{\sqrt{2}}{-2} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \] - Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là \( y = \frac{\sqrt{2}}{2} \) và \( y = -\frac{\sqrt{2}}{2} \). Câu b) Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số \( y = \frac{-2x - 1}{\sqrt{x^2 + x + 2}} \). 1. Tiệm cận đứng: - Mẫu số \( \sqrt{x^2 + x + 2} \) luôn dương với mọi \( x \), nên không có tiệm cận đứng. 2. Tiệm cận ngang: - Xét giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm \infty \): \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{-2x - 1}{\sqrt{x^2 + x + 2}} \] - Chia cả tử và mẫu cho \( |x| \): \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{-2 - \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2}}} \] - Khi \( x \to \infty \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{-2 - \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2}}} = \frac{-2}{1} = -2 \] - Khi \( x \to -\infty \): \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{-2 - \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2}}} = \frac{-2}{1} = -2 \] - Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là \( y = -2 \). Kết luận: - Đồ thị hàm số \( y = \frac{\sqrt{2x^2 + 1}}{2x - 1} \) có tiệm cận đứng \( x = \frac{1}{2} \) và tiệm cận ngang \( y = \frac{\sqrt{2}}{2} \) và \( y = -\frac{\sqrt{2}}{2} \). - Đồ thị hàm số \( y = \frac{-2x - 1}{\sqrt{x^2 + x + 2}} \) có tiệm cận ngang \( y = -2 \).