giúp ạaaaa

Câu 3: Để tìm số các véc tơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp và bằng véc tơ \(\overrightarrow{AB}\), ta cần xác định các cặp điểm \((X, Y)\) sao cho \(\overrightarrow{XY} = \overrightarrow{AB}\). 1. Xét véc tơ \(\overrightarrow{AB}\): - Điểm đầu là \(A\), điểm cuối là \(B\). 2. Tìm các véc tơ khác bằng \(\overrightarrow{AB}\): - Véc tơ \(\overrightarrow{A'B'}\): Điểm đầu là \(A'\), điểm cuối là \(B'\). - Véc tơ \(\overrightarrow{DC}\): Điểm đầu là \(D\), điểm cuối là \(C\). - Véc tơ \(\overrightarrow{D'C'}\): Điểm đầu là \(D'\), điểm cuối là \(C'\). 3. Kết luận: - Có 4 véc tơ bằng \(\overrightarrow{AB}\): \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{A'B'}\), \(\overrightarrow{DC}\), \(\overrightarrow{D'C'}\). Vậy, số các véc tơ bằng \(\overrightarrow{AB}\) là 4. Đáp án đúng là D. 4. Câu 4: Để xác định khẳng định đúng, ta cần phân tích từng khẳng định một cách chi tiết. Khẳng định A: \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC^\prime}\). - Xét hình hộp ABCD.A'B'C'D', ta có: - \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{AD}\) là các vectơ cạnh của hình hộp. - \(\overrightarrow{AC^\prime}\) là vectơ từ A đến C' (đỉnh đối diện với A trong hình hộp). - Theo định nghĩa của hình hộp, \(\overrightarrow{AC^\prime} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA^\prime}\). - Do đó, khẳng định A là sai. Khẳng định B: \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AA^\prime}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC^\prime}\). - Xét \(\overrightarrow{AC^\prime}\): - \(\overrightarrow{AC^\prime} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA^\prime}\). - Khẳng định B là đúng vì nó chính là cách biểu diễn vectơ \(\overrightarrow{AC^\prime}\) trong hình hộp. Khẳng định C: \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AA^\prime}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\). - Xét \(\overrightarrow{AC}\): - \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\). - Do đó, khẳng định C là sai vì \(\overrightarrow{AC}\) không bao gồm \(\overrightarrow{AA^\prime}\). Khẳng định D: \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AA^\prime}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow0\). - Tổng của các vectơ \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AA^\prime}\), \(\overrightarrow{AD}\) không thể bằng \(\overrightarrow0\) vì chúng không tạo thành một vòng kín trong không gian. - Do đó, khẳng định D là sai. Kết luận: Khẳng định đúng là \(\textcircled{B}\). Câu 5: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xem xét các tính chất của trọng tâm tam giác và các vectơ liên quan. Trước tiên, ta nhắc lại một số kiến thức cơ bản: 1. Trọng tâm của tam giác: Trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \) là điểm thỏa mãn: \[ \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0} \] Điều này có nghĩa là tổng các vectơ từ trọng tâm đến các đỉnh của tam giác bằng vectơ không. 2. Tính chất của trọng tâm: Trọng tâm \( G \) chia mỗi đường trung tuyến thành hai phần với tỉ lệ \( 2:1 \), với phần dài hơn nằm về phía đỉnh của tam giác. Bây giờ, ta xét từng khẳng định: A. \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}.\) Khẳng định này không đúng trong trường hợp tổng quát, vì điểm \( M \) nằm ngoài mặt phẳng \( (ABC) \), nên không có lý do gì để tổng các vectơ từ \( M \) đến các đỉnh của tam giác lại bằng vectơ không. B. \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=0.\) Khẳng định này đúng, như đã nêu trong tính chất của trọng tâm tam giác. C. \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MG}.\) Khẳng định này không đúng. Tổng các vectơ từ \( M \) đến các đỉnh của tam giác không thể đơn giản bằng vectơ từ \( M \) đến trọng tâm \( G \). D. \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}.\) Khẳng định này đúng. Ta có thể chứng minh như sau: - Từ tính chất của trọng tâm, ta có: \[ \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0} \] - Do đó, \(\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA}\), \(\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GB}\), \(\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GC}\). - Cộng các phương trình trên lại, ta được: \[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = (\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA}) + (\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GB}) + (\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GC}) \] \[ = 3\overrightarrow{MG} + (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}) \] \[ = 3\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{0} = 3\overrightarrow{MG} \] Vậy khẳng định đúng là D. \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}.\) Câu 6: Để tính độ dài vectơ \(\overrightarrow{u} = \overrightarrow{SA} - \overrightarrow{SC}\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ các điểm: Giả sử đáy ABCD là hình vuông và tâm O của đáy trùng với gốc tọa độ. Vì hình chóp S.ABCD là hình chóp đều, nên S nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy tại O. - Đặt \(A = \left(-\sqrt{3}, -\sqrt{3}, 0\right)\), \(B = \left(\sqrt{3}, -\sqrt{3}, 0\right)\), \(C = \left(\sqrt{3}, \sqrt{3}, 0\right)\), \(D = \left(-\sqrt{3}, \sqrt{3}, 0\right)\). - Tâm O của đáy là \(O = (0, 0, 0)\). 2. Tính tọa độ điểm S: Vì SA = SB = SC = SD = \(2\sqrt{3}\), và S nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy tại O, nên tọa độ của S là \(S = (0, 0, h)\). Từ \(SO = \sqrt{SA^2 - OA^2} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{12 - 6} = \sqrt{6}\). Do đó, \(h = \sqrt{6}\), nên \(S = (0, 0, \sqrt{6})\). 3. Tính vectơ \(\overrightarrow{SA}\) và \(\overrightarrow{SC}\): - \(\overrightarrow{SA} = A - S = \left(-\sqrt{3}, -\sqrt{3}, 0\right) - (0, 0, \sqrt{6}) = \left(-\sqrt{3}, -\sqrt{3}, -\sqrt{6}\right)\). - \(\overrightarrow{SC} = C - S = \left(\sqrt{3}, \sqrt{3}, 0\right) - (0, 0, \sqrt{6}) = \left(\sqrt{3}, \sqrt{3}, -\sqrt{6}\right)\). 4. Tính vectơ \(\overrightarrow{u} = \overrightarrow{SA} - \overrightarrow{SC}\): \[ \overrightarrow{u} = \left(-\sqrt{3}, -\sqrt{3}, -\sqrt{6}\right) - \left(\sqrt{3}, \sqrt{3}, -\sqrt{6}\right) = \left(-2\sqrt{3}, -2\sqrt{3}, 0\right) \] 5. Tính độ dài của vectơ \(\overrightarrow{u}\): \[ \|\overrightarrow{u}\| = \sqrt{(-2\sqrt{3})^2 + (-2\sqrt{3})^2 + 0^2} = \sqrt{12 + 12} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \] Vậy độ dài của vectơ \(\overrightarrow{u}\) là \(2\sqrt{6}\). Đáp án đúng là \(C.~2\sqrt{6}.\) Câu 7: Để xác định mệnh đề đúng, ta cần phân tích từng mệnh đề bằng cách sử dụng phép biến đổi vector. Mệnh đề A: \(\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{DA} - \overrightarrow{DC}\). - Ta có: \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}\). - Do đó: \(\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AC}\). - Mặt khác: \(\overrightarrow{DA} = \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CA}\). - Do đó: \(\overrightarrow{DA} - \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{AC}\). - Vậy: \(\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA} \neq \overrightarrow{DA} - \overrightarrow{DC}\). Mệnh đề B: \(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BD} - \overrightarrow{BC}\). - Ta có: \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC}\). - Do đó: \(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DC}\). - Mặt khác: \(\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}\). - Do đó: \(\overrightarrow{BD} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CD}\). - Vậy: \(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BD} - \overrightarrow{BC}\). Mệnh đề C: \(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{DB} - \overrightarrow{DC}\). - Ta có: \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB}\). - Do đó: \(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}\). - Mặt khác: \(\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CB}\). - Do đó: \(\overrightarrow{DB} - \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{CB}\). - Vậy: \(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{DB} - \overrightarrow{DC}\). Mệnh đề D: \(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CD} - \overrightarrow{CB}\). - Ta có: \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DB}\). - Do đó: \(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DB}\). - Mặt khác: \(\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BD}\). - Do đó: \(\overrightarrow{CD} - \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{BD}\). - Vậy: \(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CD} - \overrightarrow{CB}\). Kết luận: Mệnh đề B là mệnh đề đúng. Câu 8: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tìm biểu thức của vector \(\overrightarrow{AM}\) trong hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) với \(M\) là trung điểm của \(BB'\). 1. Xác định vector \(\overrightarrow{AB}\): Từ giả thiết, ta có: \[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} \] 2. Xác định vector \(\overrightarrow{BB'}\): Do \(B'\) là điểm tương ứng của \(B\) trên mặt phẳng đáy trên của lăng trụ, và \(\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{c}\), nên: \[ \overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{c} \] 3. Xác định vector \(\overrightarrow{BM}\): Vì \(M\) là trung điểm của \(BB'\), ta có: \[ \overrightarrow{BM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BB'} = \frac{1}{2} \overrightarrow{c} \] 4. Xác định vector \(\overrightarrow{AM}\): Ta có: \[ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = (\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) + \frac{1}{2} \overrightarrow{c} \] Suy ra: \[ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} + \frac{1}{2} \overrightarrow{c} \] Do đó, khẳng định đúng là khẳng định \(D\): \(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} + \frac{1}{2} \overrightarrow{c}\). Câu 9: Để tính độ dài của véctơ \(\overrightarrow{x} = \overrightarrow{A'C'} - \overrightarrow{A'A}\), trước tiên ta cần xác định tọa độ của các điểm trong hệ tọa độ không gian. Giả sử hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh \(a\) và được đặt trong hệ tọa độ \(Oxyz\) với: - \(A(0, 0, 0)\) - \(B(a, 0, 0)\) - \(C(a, a, 0)\) - \(D(0, a, 0)\) - \(A'(0, 0, a)\) - \(B'(a, 0, a)\) - \(C'(a, a, a)\) - \(D'(0, a, a)\) Từ đó, ta có tọa độ của các điểm: - \(A'(0, 0, a)\) - \(C'(a, a, a)\) Bây giờ, ta tính tọa độ của các véctơ: - \(\overrightarrow{A'C'} = (a - 0, a - 0, a - a) = (a, a, 0)\) - \(\overrightarrow{A'A} = (0 - 0, 0 - 0, 0 - a) = (0, 0, -a)\) Do đó, véctơ \(\overrightarrow{x} = \overrightarrow{A'C'} - \overrightarrow{A'A} = (a, a, 0) - (0, 0, -a) = (a, a, a)\). Độ dài của véctơ \(\overrightarrow{x}\) là: \[ \|\overrightarrow{x}\| = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3} \] Vậy độ dài của véctơ \(\overrightarrow{x}\) là \(a\sqrt{3}\). Do đó, đáp án đúng là \(D.~a\sqrt{3}\). Câu 10: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xem xét các tính chất hình học của tứ diện và các điểm trung điểm. Cho tứ diện \( S.ABC \) với \( M, N, P \) lần lượt là trung điểm của các cạnh \( SA, SB, SC \). Chúng ta cần kiểm tra tính đúng đắn của một số khẳng định liên quan đến các điểm này. Các bước lập luận: 1. Tính chất trung điểm: - \( M \) là trung điểm của \( SA \) nên \( \overrightarrow{SM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{SA} \). - \( N \) là trung điểm của \( SB \) nên \( \overrightarrow{SN} = \frac{1}{2} \overrightarrow{SB} \). - \( P \) là trung điểm của \( SC \) nên \( \overrightarrow{SP} = \frac{1}{2} \overrightarrow{SC} \). 2. Xét mặt phẳng trung tuyến: - Mặt phẳng đi qua các trung điểm của ba cạnh xuất phát từ một đỉnh của tứ diện (ở đây là đỉnh \( S \)) thường được gọi là mặt phẳng trung tuyến. - Mặt phẳng này có thể được xác định bởi ba điểm \( M, N, P \). 3. Khẳng định đúng: - Do \( M, N, P \) là trung điểm của các cạnh \( SA, SB, SC \), nên ba điểm này nằm trên mặt phẳng trung tuyến của tứ diện \( S.ABC \). - Mặt phẳng này chia tứ diện thành hai phần có thể tích bằng nhau. 4. Kết luận: - Khẳng định đúng là: "Mặt phẳng đi qua ba điểm \( M, N, P \) chia tứ diện \( S.ABC \) thành hai phần có thể tích bằng nhau." Với các lập luận trên, chúng ta đã xác định được khẳng định đúng liên quan đến các điểm trung điểm của tứ diện.