cho B = 1 + 1/17 + 1/17² + 1/17³ + ... + 1/17²⁰ CHỨNG MINH : B= 17²¹ - 1 / 16 . 17 ²⁰

Để chứng minh biểu thức \( B = 1 + \frac{1}{17} + \frac{1}{17^2} + \frac{1}{17^3} + \ldots + \frac{1}{17^{20}} \) có giá trị bằng \( \frac{17^{21} - 1}{16 \cdot 17^{20}} \), ta nhận thấy đây là một tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. Bước 1: Xác định công thức tổng của cấp số nhân Cấp số nhân có dạng tổng quát là: \[ S_n = a_1 + a_1 \cdot q + a_1 \cdot q^2 + \ldots + a_1 \cdot q^{n-1} \] Trong đó: - \( a_1 \) là số hạng đầu tiên. - \( q \) là công bội. - \( n \) là số lượng số hạng. Công thức tổng của cấp số nhân hữu hạn là: \[ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \] Bước 2: Áp dụng công thức vào bài toán Ở đây, \( a_1 = 1 \) và \( q = \frac{1}{17} \), và số lượng số hạng là 21 (từ \( 1 \) đến \( \frac{1}{17^{20}} \)). Áp dụng công thức tổng: \[ B = 1 \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{17}\right)^{21}}{1 - \frac{1}{17}} \] Bước 3: Tính toán Tính mẫu số: \[ 1 - \frac{1}{17} = \frac{17 - 1}{17} = \frac{16}{17} \] Tính tử số: \[ 1 - \left(\frac{1}{17}\right)^{21} = 1 - \frac{1}{17^{21}} \] Thay vào công thức tổng: \[ B = \frac{1 - \frac{1}{17^{21}}}{\frac{16}{17}} \] Bước 4: Rút gọn biểu thức Chia phân số: \[ B = \frac{1 - \frac{1}{17^{21}}}{\frac{16}{17}} = \frac{1 - \frac{1}{17^{21}}}{1} \cdot \frac{17}{16} \] \[ B = \left(1 - \frac{1}{17^{21}}\right) \cdot \frac{17}{16} \] \[ B = \frac{17}{16} - \frac{17}{16 \cdot 17^{21}} \] Rút gọn: \[ B = \frac{17^{21} - 1}{16 \cdot 17^{20}} \] Vậy, ta đã chứng minh được rằng: \[ B = \frac{17^{21} - 1}{16 \cdot 17^{20}} \]