15.Cho hình chữ nhật ABCD, lấy điểm P tuỳ ý trên đường chéo BD. Gọi M là điểm đối xứng của C qua P. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M trên AD và AB. a) CMR: AM//BD; b) CMR: AEMF là hình chữ nhật; c...

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần theo yêu cầu. a) Chứng minh AM // BD: - Do M là điểm đối xứng của C qua P, nên P là trung điểm của đoạn thẳng CM. - Vì P nằm trên đường chéo BD của hình chữ nhật ABCD, nên BD là đường chéo của hình chữ nhật và chia hình chữ nhật thành hai tam giác vuông bằng nhau. - Do đó, AM là đường trung bình của tam giác BCD, nên AM // BD. b) Chứng minh AEMF là hình chữ nhật: - Ta đã có AM // BD từ phần a). - E là hình chiếu của M trên AD, nên ME ⊥ AD. - F là hình chiếu của M trên AB, nên MF ⊥ AB. - Do đó, các góc tại E và F đều là góc vuông. - Vì AM // BD và ME ⊥ AD, MF ⊥ AB, nên AEMF có bốn góc vuông. - Vậy AEMF là hình chữ nhật. c) Chứng minh EF // AC: - Từ phần b), ta có AEMF là hình chữ nhật, nên EF // AM. - Từ phần a), ta có AM // BD. - Do đó, EF // BD. - Vì AC là đường chéo của hình chữ nhật ABCD, nên AC // BD. - Vậy EF // AC. d) Chứng minh ba điểm E, F, P thẳng hàng: - Từ phần b), ta có AEMF là hình chữ nhật, nên EF là đường thẳng. - Từ phần a), ta có AM // BD và P là trung điểm của CM. - Do đó, P nằm trên đường thẳng EF vì EF là đường trung bình của tam giác BCD. - Vậy ba điểm E, F, P thẳng hàng. Như vậy, chúng ta đã chứng minh được tất cả các phần của bài toán.