Bài 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến AM a) Chứng minh ∆AMB = ∆AMC b) Chứng minh ∆AMB vuông cân. c) Lấy điểm D sao cho A là trung điểm DC; lấy điểm E sao cho B là trung điểm AE. Chứng mi...

Bài 1: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi từng bước một theo yêu cầu của đề bài. a) Chứng minh ∆AMB = ∆AMC Tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A, do đó AB = AC và góc BAC = 90 độ. - AM là trung tuyến, nên M là trung điểm của BC, do đó MB = MC. - Xét hai tam giác AMB và AMC: - AM là cạnh chung. - AB = AC (do tam giác ABC vuông cân tại A). - MB = MC (do M là trung điểm của BC). Vậy, theo trường hợp cạnh - cạnh - cạnh (c.c.c), ta có ∆AMB = ∆AMC. b) Chứng minh ∆AMB vuông cân Vì ∆AMB = ∆AMC, nên góc AMB = góc AMC. Do tam giác ABC vuông cân tại A, góc BAC = 90 độ, nên góc ABC = góc ACB = 45 độ. Vì M là trung điểm của BC, nên AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông ABC, do đó AM cũng là đường cao. Vậy, góc AMB = góc AMC = 45 độ, và tam giác AMB là tam giác vuông cân tại M. c) Chứng minh MD = ME - A là trung điểm của DC, nên AD = AC. - B là trung điểm của AE, nên BE = BA. Xét hai tam giác AMD và AME: - AM là cạnh chung. - AD = AC (do A là trung điểm của DC). - BE = BA (do B là trung điểm của AE). Do đó, theo trường hợp cạnh - cạnh - cạnh (c.c.c), ta có ∆AMD = ∆AME. Vậy, MD = ME. d) Chứng minh KH vuông góc với DE - K là giao điểm của EM và AC. - H là giao điểm của DM và AE. Xét hai tam giác KHE và KHD: - KE = KD (do ∆AMD = ∆AME). - HE = HD (do H là giao điểm của DM và AE, và M là trung điểm của BC). Do đó, theo trường hợp cạnh - cạnh (c.c), ta có ∆KHE = ∆KHD. Vì ∆KHE = ∆KHD, nên góc KHE = góc KHD. Vì HE = HD và KE = KD, nên KH là đường trung trực của DE. Do đó, KH vuông góc với DE. Vậy, ta đã chứng minh được KH vuông góc với DE.