Cho hình chữ nhật ABCD, M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Một đường thẳng qua M cắt tia đối của tia BC tại M’, cắt tia đối của tia DC tại E và cắt AC tại F. Tia FN cắt đường thẳng CD tại G. C...

Để giải bài toán này, chúng ta cần chứng minh hai phần: a) Chứng minh C là trung điểm của EG. - Vì M là trung điểm của AD và N là trung điểm của BC, nên MN là đường trung bình của hình thang ABCD. Do đó, MN song song với AB và CD, và MN = $\frac{1}{2}$(AB + CD). - Đường thẳng qua M cắt tia đối của tia BC tại M’, cắt tia đối của tia DC tại E và cắt AC tại F. Tia FN cắt đường thẳng CD tại G. - Ta cần chứng minh rằng C là trung điểm của EG. Để làm điều này, ta sử dụng tính chất của đường trung bình và các đoạn thẳng song song. - Vì MN song song với CD và MN = $\frac{1}{2}$CD, nên M’ là điểm đối xứng của M qua C. - Do đó, C là trung điểm của đoạn thẳng EG. b) Chứng minh điểm M và M’ chia trong và chia ngoài đoạn thẳng EF theo cùng một tỉ số. - Ta đã biết M là trung điểm của AD và M’ là điểm đối xứng của M qua C. - Để chứng minh M và M’ chia trong và chia ngoài đoạn thẳng EF theo cùng một tỉ số, ta cần chứng minh rằng: - Tỉ số $\frac{EM}{MF}$ bằng tỉ số $\frac{FM'}{M'E}$. - Do M và M’ là điểm đối xứng qua C, và C là trung điểm của EG, nên các đoạn thẳng EM và M’F có cùng độ dài. - Từ đó, ta có $\frac{EM}{MF} = \frac{FM'}{M'E}$, chứng tỏ rằng M và M’ chia trong và chia ngoài đoạn thẳng EF theo cùng một tỉ số. Vậy, chúng ta đã chứng minh được cả hai phần của bài toán.