Cho tam giác ABC .Gọi E ,F lần lượt là trung điểm của AB ,AC . Trên tia đối của tia FB lấy điểm P sao cho PF = BF .Trên tia đối của tia EC lấy điểm Q sao cho QE = EC. R là giao điểm của hai đường thẳng...

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi từng bước một theo yêu cầu của đề bài. a) Chứng minh AQ // BC; AQ = AC và AP // BC; AP = BC. Từ đó suy ra A là trung điểm của PQ. - Vì E là trung điểm của AB và F là trung điểm của AC, nên EF là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó, EF // BC và EF = $\frac{1}{2}$BC. - Theo giả thiết, trên tia đối của tia FB lấy điểm P sao cho PF = BF. Do đó, FP = BF. - Tương tự, trên tia đối của tia EC lấy điểm Q sao cho QE = EC. Do đó, EQ = EC. - Xét tam giác AEF, vì E và F lần lượt là trung điểm của AB và AC, nên AE = EB và AF = FC. - Do đó, AQ = AC và AP = BC. - Vì EF // BC, nên AQ // BC và AP // BC. - Từ đó, ta có AQ = AC và AP = BC, suy ra A là trung điểm của PQ. b) Chứng minh BQ // AC và AB // CP. - Vì QE = EC và E là trung điểm của AB, nên BQ // AC. - Tương tự, vì FP = BF và F là trung điểm của AC, nên AB // CP. c) Chứng minh rằng AR, BP, CQ đồng quy tại 1 điểm. - Ta đã có AQ // BC và AP // BC, do đó AQ và AP là hai đường thẳng song song với BC. - Tương tự, BQ // AC và CP // AB. - Do đó, các đường thẳng AR, BP, CQ đồng quy tại một điểm, vì chúng là các đường trung tuyến của tam giác ABC. d) Chứng minh chu vi tam giác PQR gấp 2 lần chu vi tam giác ABC. - Ta đã có AQ = AC và AP = BC, do đó PQ = AC + BC. - Tương tự, BQ = AC và CP = AB. - Do đó, chu vi tam giác PQR là PQ + QR + RP = (AC + BC) + (AB + AC) + (BC + AB) = 2(AB + BC + AC). - Vậy chu vi tam giác PQR gấp 2 lần chu vi tam giác ABC. Như vậy, chúng ta đã chứng minh được tất cả các yêu cầu của bài toán.