Làm bài 12

Bài 9: Để chứng minh $AD // BC$, ta cần chỉ ra rằng hai góc so le trong bằng nhau. 1. Xét tam giác $ABC$, ta có: - $\widehat B = 40^\circ$ - $\widehat C = 40^\circ$ 2. Tính góc $\widehat A$ trong tam giác $ABC$: \[ \widehat A = 180^\circ - \widehat B - \widehat C = 180^\circ - 40^\circ - 40^\circ = 100^\circ \] 3. Vì $AD$ là tia phân giác góc ngoài tại đỉnh $A$, nên góc $\widehat BAD$ bằng nửa góc ngoài tại $A$: \[ \widehat BAD = \frac{180^\circ - \widehat A}{2} = \frac{180^\circ - 100^\circ}{2} = 40^\circ \] 4. Ta có $\widehat BAD = \widehat C = 40^\circ$. 5. Do đó, $\widehat BAD = \widehat C$, hai góc này là hai góc so le trong. Vậy $AD // BC$. Bài 10: Để chứng minh rằng $BE // AC$, ta cần chỉ ra rằng hai góc tạo bởi $BE$ và $AC$ với một đường thẳng cắt chúng là bằng nhau. 1. Xét tam giác $\Delta ABC$: - Ta có $\widehat A = \widehat C = 60^\circ$. - Do tổng ba góc trong tam giác bằng $180^\circ$, ta có: \[ \widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \] Thay giá trị của $\widehat A$ và $\widehat C$ vào, ta được: \[ 60^\circ + \widehat B + 60^\circ = 180^\circ \] Suy ra: \[ \widehat B = 60^\circ \] 2. Xét góc ngoài tại đỉnh B: - Vì $BE$ là tia phân giác góc ngoài tại B, nên góc ngoài tại B là: \[ \widehat{ABE} = 180^\circ - \widehat B = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \] 3. Chứng minh $BE // AC$: - Ta cần chứng minh rằng $\widehat{ABE} = \widehat{ACB}$. - Từ tam giác $\Delta ABC$, ta đã biết $\widehat{ACB} = 60^\circ$. - Tuy nhiên, do $BE$ là tia phân giác góc ngoài, nên góc $\widehat{ABE}$ là góc ngoài của tam giác $\Delta ABC$ và bằng tổng hai góc không kề bù trong tam giác, tức là: \[ \widehat{ABE} = \widehat A + \widehat C = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ \] - Do đó, $\widehat{ABE} = \widehat{ACB}$. Vì $\widehat{ABE} = \widehat{ACB}$, theo định nghĩa của hai đường thẳng song song, ta có $BE // AC$. Vậy, ta đã chứng minh được $BE // AC$. Bài 11: Để tính góc \(\widehat{BOC}\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tính góc \(\widehat{A}\) của tam giác \(\Delta ABC\): Trong tam giác \(\Delta ABC\), tổng ba góc bằng \(180^\circ\). Do đó: \[ \widehat{A} = 180^\circ - \widehat{B} - \widehat{C} = 180^\circ - 80^\circ - 40^\circ = 60^\circ \] 2. Tính góc \(\widehat{OBC}\) và \(\widehat{OCB}\): Vì \(BO\) là tia phân giác của góc \(\widehat{B}\), nên: \[ \widehat{OBC} = \frac{\widehat{B}}{2} = \frac{80^\circ}{2} = 40^\circ \] Tương tự, vì \(CO\) là tia phân giác của góc \(\widehat{C}\), nên: \[ \widehat{OCB} = \frac{\widehat{C}}{2} = \frac{40^\circ}{2} = 20^\circ \] 3. Tính góc \(\widehat{BOC}\): Trong tứ giác \(BOC\), tổng các góc bằng \(360^\circ\). Tuy nhiên, vì \(O\) nằm trong tam giác \(\Delta ABC\), ta chỉ cần xét tam giác \(\Delta BOC\): \[ \widehat{BOC} = 180^\circ - \widehat{OBC} - \widehat{OCB} = 180^\circ - 40^\circ - 20^\circ = 120^\circ \] Vậy, góc \(\widehat{BOC}\) là \(120^\circ\). Bài 12: Để giải bài toán này, ta cần xác định góc $\widehat{BOC}$ trong tam giác vuông $ABC$ với $\widehat{A} = 90^\circ$. 1. Xác định các góc trong tam giác $ABC$: - Vì $\widehat{A} = 90^\circ$, nên tổng hai góc còn lại là $\widehat{B} + \widehat{C} = 90^\circ$. 2. Xác định các góc tạo bởi các tia phân giác: - Tia BO là phân giác của góc $\widehat{B}$, do đó $\widehat{ABO} = \frac{\widehat{B}}{2}$. - Tia CO là phân giác của góc $\widehat{C}$, do đó $\widehat{ACO} = \frac{\widehat{C}}{2}$. 3. Tính góc $\widehat{BOC}$: - Trong tam giác $BOC$, tổng ba góc là $180^\circ$. Do đó, ta có: \[ \widehat{BOC} = 180^\circ - \widehat{ABO} - \widehat{ACO} \] - Thay các giá trị đã biết vào, ta có: \[ \widehat{BOC} = 180^\circ - \frac{\widehat{B}}{2} - \frac{\widehat{C}}{2} \] - Vì $\widehat{B} + \widehat{C} = 90^\circ$, nên: \[ \frac{\widehat{B}}{2} + \frac{\widehat{C}}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ \] - Do đó: \[ \widehat{BOC} = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ \] Vậy, góc $\widehat{BOC}$ là $135^\circ$.