Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... $I_3=\int^\infty_0\frac{\sin x}x\ln xdx$,Gợi ý: xét $F(s)=\int^\infty_0x^{s-1}$ sin x dx, rồi lấy đạo hàm tại $s=0.$

Question

Accepted Answer

Để tính tích phân $ I_3 = \int_0^\infty \frac{\sin x}{x} \ln x \, dx $, chúng ta sẽ sử dụng gợi ý đã đưa ra, tức là xét hàm $ F(s) = \int_0^\infty x^{s-1} \sin x \, dx $ và sau đó lấy đạo hàm của $ F(s) $ tại $ s = 0 $.

Bước 1: Xét hàm $ F(s) = \int_0^\infty x^{s-1} \sin x \, dx $.

Bước 2: Ta cần tìm đạo hàm của $ F(s) $ theo $ s $. Để làm điều này, ta sẽ lấy đạo hàm dưới dấu tích phân:
$$ F&#x27;(s) = \frac{d}{ds} \left( \int_0^\infty x^{s-1} \sin x \, dx \right) = \int_0^\infty \frac{d}{ds} \left( x^{s-1} \sin x \right) \, dx. $$

Bước 3: Tính đạo hàm của $ x^{s-1} \sin x $ theo $ s $:
$$ \frac{d}{ds} \left( x^{s-1} \sin x \right) = x^{s-1} \ln x \sin x. $$

Do đó,
$$ F&#x27;(s) = \int_0^\infty x^{s-1} \ln x \sin x \, dx. $$

Bước 4: Đặt $ s = 0 $ trong $ F&#x27;(s) $:
$$ F&#x27;(0) = \int_0^\infty x^{-1} \ln x \sin x \, dx = \int_0^\infty \frac{\sin x}{x} \ln x \, dx. $$

Như vậy, ta có:
$$ I_3 = F&#x27;(0). $$

Bước 5: Bây giờ, ta cần tìm $ F(s) $ để từ đó suy ra $ F&#x27;(s) $.

Ta biết rằng:
$$ F(s) = \int_0^\infty x^{s-1} \sin x \, dx. $$

Sử dụng công thức tích phân Laplace, ta có:
$$ F(s) = \Gamma(s) \sin \left( \frac{\pi s}{2} \right), $$
trong đó $ \Gamma(s) $ là hàm Gamma.

Bước 6: Lấy đạo hàm của $ F(s) $ theo $ s $:
$$ F&#x27;(s) = \frac{d}{ds} \left( \Gamma(s) \sin \left( \frac{\pi s}{2} \right) \right). $$

Sử dụng quy tắc nhân đạo hàm, ta có:
$$ F&#x27;(s) = \Gamma&#x27;(s) \sin \left( \frac{\pi s}{2} \right) + \Gamma(s) \cos \left( \frac{\pi s}{2} \right) \cdot \frac{\pi}{2}. $$

Bước 7: Đặt $ s = 0 $ trong $ F&#x27;(s) $:
$$ F&#x27;(0) = \Gamma&#x27;(0) \sin \left( \frac{\pi \cdot 0}{2} \right) + \Gamma(0) \cos \left( \frac{\pi \cdot 0}{2} \right) \cdot \frac{\pi}{2}. $$

Ta biết rằng:
$$ \Gamma(0) = \infty, \quad \Gamma&#x27;(0) = -\gamma, \quad \sin(0) = 0, \quad \cos(0) = 1, $$
trong đó $ \gamma $ là hằng số Euler-Mascheroni.

Do đó,
$$ F&#x27;(0) = (-\gamma) \cdot 0 + \infty \cdot 1 \cdot \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi \gamma}{2}. $$

Vậy,
$$ I_3 = -\frac{\pi \gamma}{2}. $$

Đáp số: $ I_3 = -\frac{\pi \gamma}{2} $.