Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương.

Question

Accepted Answer

Gọi số cần tìm là $\stackrel{-}{abcd}.$ Điều kiện: $1 \leqslant a \leqslant 9; 0 \leqslant b,c,d \leqslant 9.$

Theo đề bài ta có $\stackrel{-}{(a+1)(b+3)(c+5)(d+3)}=\stackrel{-}{abcd}+1353.$

Ta có $(a+1)(b+3)(c+5)(d+3)$ là một số chính phương nên $\stackrel{-}{abcd}+1353$ cũng là một số chính phương.

Mặt khác, $1000 \leqslant \stackrel{-}{abcd} \leqslant 9999$ nên $2322 \leqslant \stackrel{-}{abcd}+1353 \leqslant 11352.$

Do đó, $\stackrel{-}{abcd}+1353 \in \{2500; 2704; 2916; 3025; 3364; 3721; 4096; 4356; 4624; 4900; 5184; 5476; 5776; 6084; 6400; 6724; 7056; 7396; 7744; 8100; 8464; 8836; 9216; 9604; 10000; 10404; 10816; 11236\}.$

Vậy $\stackrel{-}{abcd}\in \{1147; 1351; 1563; 1672; 2011; 2368; 2743; 3003; 3271; 3631; 3888; 4123; 4423; 4731; 5047; 5371; 5702; 6043; 6392; 6756; 7110; 7483; 7812; 8152; 8548; 8920; 9260; 9601\}.$

Dễ thấy chỉ có 8548 và 9601 thỏa mãn điều kiện $1000 \leqslant \stackrel{-}{abcd} \leqslant 9999.$

Thử trực tiếp ta thấy chỉ có 9601 thỏa mãn điều kiện của đề bài.

Vậy số cần tìm là 9601.

Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng...