giúp e vớiii

Câu 3: Để tìm bán kính của đường tròn, trước tiên chúng ta cần đưa phương trình của đường tròn về dạng chuẩn. Phương trình đường tròn có dạng tổng quát là: \[ x^2 + y^2 + 2ax + 2by + c = 0 \] Để đưa về dạng chuẩn, chúng ta cần hoàn thành bình phương cho các biến \(x\) và \(y\). Phương trình đã cho là: \[ x^2 + y^2 + 6x + 8y = 0 \] Bước 1: Hoàn thành bình phương cho \(x\). - Nhóm các hạng tử liên quan đến \(x\): \(x^2 + 6x\). - Hoàn thành bình phương: \(x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9\). Bước 2: Hoàn thành bình phương cho \(y\). - Nhóm các hạng tử liên quan đến \(y\): \(y^2 + 8y\). - Hoàn thành bình phương: \(y^2 + 8y = (y + 4)^2 - 16\). Bước 3: Thay các biểu thức hoàn thành bình phương vào phương trình ban đầu: \[ (x + 3)^2 - 9 + (y + 4)^2 - 16 = 0 \] Bước 4: Đưa về dạng chuẩn: \[ (x + 3)^2 + (y + 4)^2 = 25 \] Dạng chuẩn của phương trình đường tròn là: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 \] Trong đó, \((a, b)\) là tọa độ tâm và \(R\) là bán kính của đường tròn. Từ phương trình \((x + 3)^2 + (y + 4)^2 = 25\), ta thấy: - Tâm của đường tròn là \((-3, -4)\). - Bán kính \(R\) là \(\sqrt{25} = 5\). Vậy bán kính của đường tròn là 5. Do đó, đáp án đúng là C. 5. Câu 4: Để xác định phương trình chính tắc của elip, ta cần nhớ rằng phương trình chính tắc của elip có dạng: \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \] với \(a^2 > 0\) và \(b^2 > 0\). Điều này có nghĩa là cả hai hệ số của \(x^2\) và \(y^2\) đều phải dương. Bây giờ, ta sẽ xem xét từng phương trình đã cho: A. \(\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1\) - Phương trình này có dạng \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\), đây là dạng của phương trình hyperbol, không phải elip, vì có dấu trừ. B. \(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1\) - Tương tự như phương trình A, phương trình này cũng có dạng \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\), là dạng của phương trình hyperbol. C. \(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1\) - Phương trình này có dạng \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) với \(a^2 = 4\) và \(b^2 = 9\), cả hai đều dương. Đây là dạng chính tắc của elip. D. \(\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1\) - Phương trình này cũng có dạng \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) với \(a^2 = 9\) và \(b^2 = 4\), cả hai đều dương. Đây cũng là dạng chính tắc của elip. Kết luận: Cả phương trình C và D đều là phương trình chính tắc của elip. Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, chỉ có một phương trình được coi là đúng. Do đó, ta chọn phương trình C: \(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1\). Câu 5: Để tính xác suất để trong ba lần quay, chiếc kim của bánh xe dừng lại ở ba nấc điểm khác nhau, chúng ta sẽ làm theo các bước sau: 1. Tổng số trường hợp có thể xảy ra: - Mỗi lần quay có 6 nấc điểm có thể dừng lại. - Vậy trong 3 lần quay, tổng số trường hợp có thể xảy ra là: \[ 6 \times 6 \times 6 = 216 \] 2. Số trường hợp mà chiếc kim dừng lại ở ba nấc điểm khác nhau: - Lần đầu tiên, chiếc kim có thể dừng lại ở bất kỳ 1 trong 6 nấc điểm. - Lần thứ hai, chiếc kim có thể dừng lại ở 1 trong 5 nấc điểm còn lại (khác với nấc điểm đã dừng lần đầu). - Lần thứ ba, chiếc kim có thể dừng lại ở 1 trong 4 nấc điểm còn lại (khác với 2 nấc điểm đã dừng lần đầu và lần thứ hai). - Vậy số trường hợp mà chiếc kim dừng lại ở ba nấc điểm khác nhau là: \[ 6 \times 5 \times 4 = 120 \] 3. Xác suất để chiếc kim dừng lại ở ba nấc điểm khác nhau: - Xác suất là tỷ lệ giữa số trường hợp thuận lợi và tổng số trường hợp có thể xảy ra: \[ \text{Xác suất} = \frac{\text{Số trường hợp thuận lợi}}{\text{Tổng số trường hợp có thể xảy ra}} = \frac{120}{216} \] - Rút gọn phân số: \[ \frac{120}{216} = \frac{5}{9} \] Vậy xác suất để trong ba lần quay, chiếc kim của bánh xe dừng lại ở ba nấc điểm khác nhau là: \[ \boxed{\frac{5}{9}} \] Câu 6: Biến cố đối của biến cố A là biến cố xảy ra khi biến cố A không xảy ra. Biến cố A là "số chấm xuất hiện trên con súc sắc bé hơn 3". Các trường hợp thỏa mãn biến cố A là: 1, 2. Do đó, biến cố đối của biến cố A là biến cố xảy ra khi số chấm xuất hiện trên con súc sắc không bé hơn 3. Các trường hợp này là: 3, 4, 5, 6. Như vậy, biến cố đối của biến cố A là: A. Số chấm xuất hiện trên con súc sắc không bé hơn 3. Đáp án đúng là: A. Số chấm xuất hiện trên con súc sắc không bé hơn 3. Câu 7: Để tìm phương trình của đường tròn có tâm \( I(1;2) \) và bán kính \( R = 3 \), ta sử dụng công thức phương trình đường tròn: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 \] Trong đó, \((a, b)\) là tọa độ tâm của đường tròn và \(R\) là bán kính. Thay \(a = 1\), \(b = 2\), và \(R = 3\) vào công thức, ta có: \[ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 3^2 \] \[ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 9 \] Khai triển biểu thức: \[ (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1 \] \[ (y - 2)^2 = y^2 - 4y + 4 \] Cộng hai biểu thức lại: \[ x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = 9 \] \[ x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 = 9 \] Chuyển vế và rút gọn: \[ x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 - 9 = 0 \] \[ x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0 \] Vậy phương trình của đường tròn là: \[ x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0 \] Do đó, đáp án đúng là \( \boxed{D} \). Câu 8: Để tìm tọa độ tâm của đường tròn \((C): x^2 + y^2 - 6x + 8y - 1 = 0\), ta cần đưa phương trình này về dạng chuẩn của phương trình đường tròn \((x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2\), trong đó \((a, b)\) là tọa độ tâm và \(R\) là bán kính. Bước 1: Nhóm các hạng tử liên quan đến \(x\) và \(y\). \[ x^2 - 6x + y^2 + 8y = 1 \] Bước 2: Hoàn thành bình phương cho các hạng tử \(x\) và \(y\). - Đối với \(x^2 - 6x\), ta thêm và bớt \(\left(\frac{-6}{2}\right)^2 = 9\): \[ x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9 \] - Đối với \(y^2 + 8y\), ta thêm và bớt \(\left(\frac{8}{2}\right)^2 = 16\): \[ y^2 + 8y = (y + 4)^2 - 16 \] Bước 3: Thay các biểu thức hoàn thành bình phương vào phương trình ban đầu: \[ (x - 3)^2 - 9 + (y + 4)^2 - 16 = 1 \] Bước 4: Đưa phương trình về dạng chuẩn: \[ (x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 1 + 9 + 16 \] \[ (x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 26 \] Từ phương trình trên, ta thấy rằng tâm của đường tròn là \(I(3, -4)\). Vậy đáp án đúng là \(A.~I(3; -4)\). Câu 9: Để tìm phương trình chính tắc của elip, ta cần xác định các thông số cơ bản của elip: độ dài trục lớn, độ dài trục nhỏ và tiêu cự. 1. Độ dài trục lớn: Được cho là 10, do đó ta có \(2a = 10\) suy ra \(a = 5\). 2. Tiêu cự: Được cho là 6, do đó ta có \(2c = 6\) suy ra \(c = 3\). 3. Mối quan hệ giữa các bán trục: Đối với elip, ta có công thức \(c^2 = a^2 - b^2\). - Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ c^2 = a^2 - b^2 \Rightarrow 3^2 = 5^2 - b^2 \Rightarrow 9 = 25 - b^2 \] - Giải phương trình trên để tìm \(b^2\): \[ b^2 = 25 - 9 = 16 \Rightarrow b = 4 \] 4. Phương trình chính tắc của elip: Với \(a = 5\) và \(b = 4\), phương trình chính tắc của elip có dạng: \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \Rightarrow \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1 \] Do đó, phương trình chính tắc của elip là \(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1\). Đáp án đúng là D. Câu 10: Để xác định điểm nào nằm trên đường thẳng \(\Delta: 2x - y + 1 = 0\), ta cần kiểm tra từng điểm bằng cách thay tọa độ của điểm đó vào phương trình của đường thẳng. Nếu phương trình đúng, thì điểm đó nằm trên đường thẳng. Kiểm tra từng điểm: 1. Điểm \(B\left(\frac{1}{2}; 2\right)\): Thay \(x = \frac{1}{2}\) và \(y = 2\) vào phương trình: \[ 2\left(\frac{1}{2}\right) - 2 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0 \] Phương trình đúng, do đó điểm \(B\left(\frac{1}{2}; 2\right)\) nằm trên đường thẳng \(\Delta\). 2. Điểm \(C\left(\frac{1}{2}; -2\right)\): Thay \(x = \frac{1}{2}\) và \(y = -2\) vào phương trình: \[ 2\left(\frac{1}{2}\right) - (-2) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4 \neq 0 \] Phương trình không đúng, do đó điểm \(C\left(\frac{1}{2}; -2\right)\) không nằm trên đường thẳng \(\Delta\). 3. Điểm \(D(0; -1)\): Thay \(x = 0\) và \(y = -1\) vào phương trình: \[ 2(0) - (-1) + 1 = 0 + 1 + 1 = 2 \neq 0 \] Phương trình không đúng, do đó điểm \(D(0; -1)\) không nằm trên đường thẳng \(\Delta\). 4. Điểm \(A(1; 1)\): Thay \(x = 1\) và \(y = 1\) vào phương trình: \[ 2(1) - 1 + 1 = 2 - 1 + 1 = 2 \neq 0 \] Phương trình không đúng, do đó điểm \(A(1; 1)\) không nằm trên đường thẳng \(\Delta\). Kết luận: Điểm \(B\left(\frac{1}{2}; 2\right)\) là điểm duy nhất nằm trên đường thẳng \(\Delta\). Câu 11: Để xác định phương trình chính tắc của elip, ta cần nhớ rằng phương trình chính tắc của elip có dạng: \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \] với \(a^2 > b^2\) hoặc \(b^2 > a^2\). Điều này có nghĩa là hệ số của \(x^2\) và \(y^2\) phải là các số dương và tổng của chúng phải bằng 1. Bây giờ, ta sẽ xem xét từng phương trình: A. \(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1\) - Đây là phương trình của elip vì cả hai hệ số \(\frac{1}{4}\) và \(\frac{1}{9}\) đều dương và tổng của chúng là 1. Hơn nữa, \(b^2 = 9 > a^2 = 4\), thỏa mãn điều kiện của elip. B. \(\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1\) - Đây cũng là phương trình của elip vì cả hai hệ số \(\frac{1}{9}\) và \(\frac{1}{4}\) đều dương và tổng của chúng là 1. Hơn nữa, \(a^2 = 9 > b^2 = 4\), thỏa mãn điều kiện của elip. C. \(\frac{x^2}{x^2} - \frac{y^2}{y^2} = 1\) - Phương trình này không phải là phương trình của elip vì nó có dạng \(\frac{x^2}{x^2} - \frac{y^2}{y^2} = 1\), tương đương với \(1 - 1 = 1\), điều này là vô lý. D. \(\underline{x^2}~\underline{y^2} = 1\) - Phương trình này không có dạng của phương trình elip vì không có dạng phân số và không có tổng của hai phân số bằng 1. Kết luận: Phương trình chính tắc của elip là phương trình A và B.