giải giúp e vs

Câu 1: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính tổng số cách chia 12 học sinh thành 3 nhóm, mỗi nhóm có 4 học sinh. 2. Tính số cách chia sao cho mỗi nhóm có ít nhất 1 học sinh nữ. 3. Tính số cách chia sao cho Bí thư và Lớp trưởng ở cùng một nhóm. 4. Tính xác suất để Bí thư và Lớp trưởng không ở cùng một nhóm. Bước 1: Tính tổng số cách chia 12 học sinh thành 3 nhóm, mỗi nhóm có 4 học sinh. Số cách chọn 4 học sinh từ 12 học sinh là: \[ C_{12}^{4} \] Sau khi chọn 4 học sinh cho nhóm thứ nhất, số cách chọn 4 học sinh từ 8 học sinh còn lại là: \[ C_{8}^{4} \] Sau khi chọn 4 học sinh cho nhóm thứ hai, số cách chọn 4 học sinh từ 4 học sinh còn lại là: \[ C_{4}^{4} \] Tuy nhiên, vì các nhóm là giống nhau (không phân biệt thứ tự), chúng ta cần chia cho số hoán vị của 3 nhóm: \[ \frac{C_{12}^{4} \cdot C_{8}^{4} \cdot C_{4}^{4}}{3!} \] Bước 2: Tính số cách chia sao cho mỗi nhóm có ít nhất 1 học sinh nữ. Đầu tiên, chúng ta tính số cách chia sao cho có ít nhất 1 học sinh nữ trong mỗi nhóm. - Số cách chọn 4 học sinh từ 12 học sinh sao cho có ít nhất 1 học sinh nữ: \[ C_{12}^{4} - C_{8}^{4} \] (Số cách chọn 4 học sinh từ 12 học sinh trừ đi số cách chọn 4 học sinh toàn nam). - Sau khi chọn 4 học sinh cho nhóm thứ nhất, số cách chọn 4 học sinh từ 8 học sinh còn lại sao cho có ít nhất 1 học sinh nữ: \[ C_{8}^{4} - C_{4}^{4} \] - Sau khi chọn 4 học sinh cho nhóm thứ hai, số cách chọn 4 học sinh từ 4 học sinh còn lại sao cho có ít nhất 1 học sinh nữ: \[ C_{4}^{4} \] Tương tự như trước, vì các nhóm là giống nhau, chúng ta cần chia cho số hoán vị của 3 nhóm: \[ \frac{(C_{12}^{4} - C_{8}^{4}) \cdot (C_{8}^{4} - C_{4}^{4}) \cdot C_{4}^{4}}{3!} \] Bước 3: Tính số cách chia sao cho Bí thư và Lớp trưởng ở cùng một nhóm. - Số cách chọn 2 học sinh nữ khác từ 2 học sinh nữ còn lại: \[ C_{2}^{2} \] - Số cách chọn 2 học sinh nam từ 8 học sinh nam: \[ C_{8}^{2} \] - Tổng số cách chia sao cho Bí thư và Lớp trưởng ở cùng một nhóm: \[ C_{2}^{2} \cdot C_{8}^{2} \] Bước 4: Tính xác suất để Bí thư và Lớp trưởng không ở cùng một nhóm. Xác suất để Bí thư và Lớp trưởng không ở cùng một nhóm là: \[ 1 - \frac{\text{Số cách chia sao cho Bí thư và Lớp trưởng ở cùng một nhóm}}{\text{Số cách chia sao cho mỗi nhóm có ít nhất 1 học sinh nữ}} \] Thay các giá trị đã tính vào công thức: \[ 1 - \frac{C_{2}^{2} \cdot C_{8}^{2}}{\frac{(C_{12}^{4} - C_{8}^{4}) \cdot (C_{8}^{4} - C_{4}^{4}) \cdot C_{4}^{4}}{3!}} \] Cuối cùng, tính toán cụ thể các giá trị: \[ C_{12}^{4} = 495, \quad C_{8}^{4} = 70, \quad C_{4}^{4} = 1, \quad C_{8}^{2} = 28 \] \[ \frac{(495 - 70) \cdot (70 - 1) \cdot 1}{6} = \frac{425 \cdot 69}{6} = 4887.5 \] \[ 1 - \frac{28}{4887.5} = 1 - 0.00573 = 0.99427 \] Vậy xác suất để Bí thư và Lớp trưởng không ở cùng một nhóm là: \[ \boxed{0.99427} \] Câu 2: Để giải bài toán này, ta cần tìm phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm \( M(2;1) \) và cắt đường tròn \( (C): (x-1)^2 + (y-2)^2 = 4 \) tại hai điểm phân biệt \( A \) và \( B \) sao cho độ dài \( AB \) ngắn nhất. Bước 1: Tìm tâm và bán kính của đường tròn Đường tròn \( (C) \) có phương trình: \[ (x-1)^2 + (y-2)^2 = 4 \] Từ đây, ta xác định được tâm \( I(1, 2) \) và bán kính \( R = 2 \). Bước 2: Xác định điều kiện để đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt Để đường thẳng \( (d) \) cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt, khoảng cách từ tâm \( I \) đến đường thẳng \( (d) \) phải nhỏ hơn bán kính \( R \). Bước 3: Tìm phương trình đường thẳng (d) Giả sử phương trình đường thẳng \( (d) \) có dạng: \[ y - 1 = m(x - 2) \] hay: \[ y = mx - 2m + 1 \] Bước 4: Tìm điều kiện để độ dài \( AB \) ngắn nhất Độ dài \( AB \) ngắn nhất khi đường thẳng \( (d) \) là đường kính của đường tròn. Đường kính là đường thẳng đi qua tâm \( I(1, 2) \) và vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc. Để \( (d) \) là đường kính, nó phải đi qua tâm \( I(1, 2) \). Do đó, phương trình đường thẳng \( (d) \) có dạng: \[ y - 1 = \frac{2-1}{1-2}(x - 2) \] hay: \[ y - 1 = -1(x - 2) \] \[ y = -x + 3 \] Bước 5: Kiểm tra điều kiện Phương trình đường thẳng \( (d): y = -x + 3 \) đi qua điểm \( M(2, 1) \) và cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt \( A \) và \( B \). Kết luận Phương trình đường thẳng \( (d) \) qua điểm \( M(2, 1) \) và cắt đường tròn \( (C) \) tại hai điểm phân biệt \( A, B \) sao cho độ dài \( AB \) ngắn nhất là: \[ y = -x + 3 \] Câu 3: Trước hết, ta tính tổng số cách xếp 10 quyển sách lên kệ: - Có 10 vị trí trên kệ. - Số cách xếp 10 quyển sách lên kệ là: \(10!\) Bây giờ, ta sẽ tính số cách xếp sao cho 2 quyển sách cùng một môn nằm cạnh nhau. Ta sẽ nhóm 2 quyển sách cùng một môn lại thành một "đơn vị". Như vậy, ta có 9 "đơn vị" cần xếp (gồm 8 quyển sách còn lại và 1 "đơn vị" đã ghép). - Số cách xếp 9 "đơn vị" này là: \(9!\) - Trong mỗi "đơn vị", 2 quyển sách có thể xếp theo 2 cách (sách Toán trước hoặc sách Văn trước). Vậy, số cách xếp sao cho 2 quyển sách cùng một môn nằm cạnh nhau là: \(9! \times 2\) Tuy nhiên, ta cần lưu ý rằng có 2 trường hợp xảy ra: - Trường hợp 1: 2 quyển sách Toán nằm cạnh nhau. - Trường hợp 2: 2 quyển sách Văn nằm cạnh nhau. Do đó, ta cần nhân đôi số cách xếp trên: - Tổng số cách xếp sao cho 2 quyển sách cùng một môn nằm cạnh nhau là: \(9! \times 2 \times 2 = 9! \times 4\) Cuối cùng, ta tính xác suất để 2 quyển sách cùng một môn nằm cạnh nhau: - Xác suất là tỷ lệ giữa số cách xếp sao cho 2 quyển sách cùng một môn nằm cạnh nhau và tổng số cách xếp 10 quyển sách: \[ P = \frac{9! \times 4}{10!} = \frac{9! \times 4}{10 \times 9!} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}\] Vậy, xác suất để 2 quyển sách cùng một môn nằm cạnh nhau là \(\frac{2}{5}\).