Một vật dao động điều hoà dọc theo trục Ox, quanh vị trí cân bằng O với biên độ 8 cm và chu kì T. Trong khoảng thời gian T/7, quãng đường nhỏ nhất vật có thể đi được là bao nhiêu

Cho một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox quanh vị trí cân bằng O với biên độ A = 8 cm và chu kỳ T. Bài toán yêu cầu: Trong khoảng thời gian \(\frac{T}{7}\), quãng đường nhỏ nhất vật có thể đi được là bao nhiêu? --- **Phân tích:** 1. Phương trình dao động điều hòa: \[ x(t) = A \cos(\omega t + \varphi) \] với \(\omega = \frac{2\pi}{T}\). 2. Quãng đường đi được trong thời gian \(\Delta t\) phụ thuộc vào vị trí ban đầu (hay pha ban đầu \(\varphi\)) và sự thay đổi vị trí trong khoảng thời gian đó. 3. Ta cần tìm quãng đường nhỏ nhất trong khoảng thời gian \(\Delta t = \frac{T}{7}\), tức là khoảng thời gian nhỏ. --- **Cách giải:** Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian \(\Delta t\) là: \[ s = |x(t_0 + \Delta t) - x(t_0)| \] nếu vật chuyển động không đổi chiều (chưa qua vị trí biên trong khoảng \(\Delta t\)). Nếu vật đổi chiều (nghĩa là vật qua vị trí biên hoặc vị trí cân bằng trong khoảng thời gian đó), quãng đường đi sẽ lớn hơn khoảng cách giữa 2 vị trí đầu và cuối, vì có sự đổi chiều chuyển động. Để quãng đường nhỏ nhất, vật không đổi chiều chuyển động trong khoảng thời gian \(\Delta t\), nghĩa là không vượt quá biên độ, vật chuyển động một chiều liên tục trong thời gian \(\Delta t\). Do đó, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của: \[ s = |x(t_0 + \Delta t) - x(t_0)| = |A \cos(\omega (t_0 + \Delta t) + \varphi) - A \cos(\omega t_0 + \varphi)| \] Mà \(\varphi' = \omega t_0 + \varphi\) là pha ban đầu tại thời điểm \(t_0\), ta có: \[ s = A | \cos(\varphi' + \Delta \theta) - \cos(\varphi') | \] với \(\Delta \theta = \omega \Delta t = \frac{2\pi}{T} \cdot \frac{T}{7} = \frac{2\pi}{7}\). Sử dụng công thức hiệu cos: \[ \cos a - \cos b = -2 \sin \frac{a+b}{2} \sin \frac{a-b}{2} \] Ta có: \[ s = A | \cos(\varphi' + \Delta \theta) - \cos(\varphi') | = A \cdot 2 \left| \sin \left( \varphi' + \frac{\Delta \theta}{2} \right) \sin \frac{\Delta \theta}{2} \right| \] Do đó: \[ s = 2A \left| \sin \left( \varphi' + \frac{\Delta \theta}{2} \right) \right| \cdot \sin \frac{\Delta \theta}{2} \] Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \(s\) theo \(\varphi'\) trong khoảng \([0, 2\pi]\). Vì \(\sin \frac{\Delta \theta}{2} = \sin \frac{\pi}{7} > 0\) là hằng số dương. Nên: \[ s_{\min} = 2A \sin \frac{\pi}{7} \cdot \min_{\varphi'} \left| \sin \left( \varphi' + \frac{\pi}{7} \right) \right| \] Nhận thấy \(\left| \sin x \right|\) có giá trị nhỏ nhất là 0, nhưng khi đó \(s=0\) nghĩa là vật đứng yên tại một vị trí nào đó, không di chuyển. Tuy nhiên, vật dao động điều hòa luôn chuyển động, nên khoảng thời gian \(\Delta t\) càng nhỏ thì vật đi quãng đường càng nhỏ. Khi vật đứng yên tại vị trí biên hoặc cực tiểu của hàm cosine, tốc độ vật bằng 0, vật chưa di chuyển trong khoảng thời gian nhỏ → quãng đường bằng 0. Như vậy, quãng đường nhỏ nhất vật có thể đi được trong khoảng thời gian \(\frac{T}{7}\) là 0 cm. --- **Tuy nhiên**, bài toán có thể yêu cầu quãng đường nhỏ nhất mà vật đi được **khi vật không đứng yên (đang chuyển động)**. Ta sẽ xét trường hợp vật chuyển động không đổi chiều trong khoảng thời gian \(\Delta t = \frac{T}{7}\). Do vận tốc: \[ v = -A \omega \sin(\omega t + \varphi) \] khi \(v=0\) tại vị trí biên, vật đứng yên tạm thời. Nếu vật bắt đầu tại vị trí cân bằng (pha \(\varphi' = \pi/2\) hoặc \(3\pi/2\)) thì vật có vận tốc cực đại, vật sẽ đi quãng đường lớn nhất. Nếu vật bắt đầu tại vị trí biên, vật đứng yên → quãng đường đi trong khoảng \(\Delta t\) gần như bằng 0. Do vậy: - Quãng đường nhỏ nhất vật có thể đi được trong thời gian \(\frac{T}{7}\) là 0 cm. - Quãng đường lớn nhất sẽ là: \[ s_{\max} = 2A \sin \frac{\pi}{7} \cdot 1 = 2 \times 8 \times \sin \frac{\pi}{7} \approx 16 \times 0.4339 = 6.94 \text{ cm} \] --- **Kết luận:** - Quãng đường nhỏ nhất vật có thể đi được trong khoảng thời gian \(\frac{T}{7}\) là **0 cm** (khi vật đứng yên tại vị trí biên). - Nếu vật chuyển động, quãng đường đi được lớn hơn 0. --- **Trả lời:** Quãng đường nhỏ nhất vật có thể đi được trong khoảng thời gian \(\frac{T}{7}\) là **0 cm**.