giải giúp tôi

Dưới đây là lời giải từng bài bạn yêu cầu: --- **Bài 17:** Hai người khởi hành từ A và B cách nhau 20 km. - Nếu đi ngược chiều thì sau \(t_1 = 12\) phút gặp nhau. - Nếu đi cùng chiều thì sau \(t_2 = 1\) giờ, người thứ nhất đuổi kịp người thứ hai. Gọi vận tốc người thứ nhất là \(v_1\) (km/h), người thứ hai là \(v_2\) (km/h). 1. Khi đi ngược chiều: tổng quãng đường là 20 km, tổng vận tốc là \(v_1 + v_2\). \[ (v_1 + v_2) \times \frac{12}{60} = 20 \Rightarrow (v_1 + v_2) \times 0.2 = 20 \Rightarrow v_1 + v_2 = 100 \quad (1) \] 2. Khi đi cùng chiều, giả sử người thứ nhất đi phía sau người thứ hai (vì phải đuổi kịp). Quãng đường lúc này là 20 km, vận tốc tương đối là \(v_1 - v_2\). \[ (v_1 - v_2) \times 1 = 20 \Rightarrow v_1 - v_2 = 20 \quad (2) \] Cộng (1) và (2): \[ 2v_1 = 120 \Rightarrow v_1 = 60 \text{ km/h} \] Thay vào (1): \[ 60 + v_2 = 100 \Rightarrow v_2 = 40 \text{ km/h} \] **Đáp số:** \(v_1 = 60\) km/h, \(v_2 = 40\) km/h. --- **Bài 18:** Hai ô tô đi qua ngã tư vuông góc cùng lúc. - \(v_1 = 8\) m/s, \(v_2 = 6\) m/s. - Lúc xe 2 cách ngã tư 120 m, tìm khoảng cách giữa hai xe. Gọi \(t\) là thời gian tính từ lúc xe 2 ở vị trí cách ngã tư 120 m. Xe 2 sẽ mất thời gian: \[ t = \frac{120}{6} = 20 \text{ s} \] Tại thời điểm này, xe 1 đã đi được: \[ d_1 = v_1 \times t = 8 \times 20 = 160 \text{ m} \] Khoảng cách giữa hai xe là đường chéo của tam giác vuông cạnh \(d_1 = 160\) m và \(d_2 = 120 - 6t = 0\) (vì tính từ lúc xe 2 cách 120 m đi tới ngã tư nên hiện tại xe 2 ở ngã tư). Tuy nhiên, xe 2 cách ngã tư 120 m lúc tính \(t=0\), vậy tại thời điểm đó xe 1 đã đi được \(0\), xe 2 cách 120 m. Vậy khoảng cách lúc xe 2 cách ngã tư 120 m là: \[ d = \sqrt{(0)^2 + (120)^2} = 120 \text{ m} \] Nhưng đề yêu cầu lúc xe 2 cách ngã tư 120 m, tìm khoảng cách giữa hai xe tức là lúc xe 2 còn cách ngã tư 120 m, lúc đó xe 1 đã đi được một khoảng. Nếu lúc này xe 2 cách ngã tư 120 m (chưa tới ngã tư), xe 1 đã đi trước một đoạn \(x\), vì xuất phát cùng lúc. Giả sử xe 2 mất thời gian \(t\) để tới vị trí 120 m trước ngã tư, xe 1 cũng chạy trong thời gian \(t\). Xe 2 cách ngã tư 120 m: \[ t = \frac{120}{6} = 20 \text{ s} \] Xe 1 đi được: \[ d_1 = 8 \times 20 = 160 \text{ m} \] Hai xe đi trên hai đường vuông góc nhau, khoảng cách: \[ d = \sqrt{160^2 + 120^2} = \sqrt{25600 + 14400} = \sqrt{40000} = 200 \text{ m} \] **Đáp số:** Hai xe cách nhau 200 m. --- **Bài 19:** Bể bơi hình chữ nhật, \(AB=50\) m, \(BC=30\) m. - Bố xuất phát từ \(M\), với \(MA=10\) m, bơi về B, vận tốc \(v_1=4\) m/s. - Con xuất phát từ \(N\), với \(NB=18\) m, bơi về C, vận tốc \(v_2=3\) m/s. - Chỉ được bơi theo mép bể. a) Tìm khoảng cách giữa hai người sau 2 s. Tính quãng đường mỗi người đi được trong 2s: \[ s_1 = v_1 \times 2 = 8 \text{ m} \] \[ s_2 = v_2 \times 2 = 6 \text{ m} \] - Vị trí bố lúc này cách A: \[ d_{M \to bố} = MA + s_1 = 10 + 8 = 18 \text{ m} \] - Vị trí con lúc này cách B: \[ d_{N \to con} = NB + s_2 = 18 + 6 = 24 \text{ m} \] Xác định tọa độ hai người: Giả sử tọa độ \(A(0,0)\), \(B(50,0)\), \(C(50,30)\), \(D(0,30)\). - Bố đi từ M về B theo đường AB. \(M\) trên AB, cách A 10 m nên \(M(10,0)\). Sau 2s, bố đi 8 m về B, vị trí bố là: \[ P(10 + 8, 0) = (18, 0) \] - Con đi từ N về C theo đường BC. \(N\) trên BC, cách B 18 m nên: \[ B(50,0), C(50,30) \] Đi theo chiều dọc từ B lên C, vị trí N là: \[ N(50, 18) \] Sau 2s, con đi được 6 m, vị trí con: \[ Q(50, 18 + 6) = (50, 24) \] Khoảng cách giữa hai người là: \[ d = \sqrt{(50 - 18)^2 + (24 - 0)^2} = \sqrt{32^2 + 24^2} = \sqrt{1024 + 576} = \sqrt{1600} = 40 \text{ m} \] b) Tìm khoảng cách ngắn nhất giữa hai người trước khi chạm thành bể đối diện. Bố đi từ M đến B: tổng quãng đường 40 m (từ 10 đến 50). Con đi từ N đến C: tổng quãng đường 12 m (từ 18 đến 30). Gọi \(t\) là thời gian (s), với \(0 \le t \le T\), trong đó: - \(T_1 = \frac{40}{4} = 10\) s (bố đến B) - \(T_2 = \frac{12}{3} = 4\) s (con đến C) Tính khoảng cách giữa vị trí bố và con theo thời gian: - Vị trí bố sau \(t\) giây: \[ P(t) = (10 + 4t, 0) \] - Vị trí con sau \(t\) giây: \[ Q(t) = (50, 18 + 3t) \] Khoảng cách: \[ d(t) = \sqrt{(50 - (10 + 4t))^2 + (18 + 3t - 0)^2} = \sqrt{(40 - 4t)^2 + (18 + 3t)^2} \] Ta cần tìm \(t\) trong khoảng \([0,4]\) vì con bơi hết 4 s thì chạm thành bể. Tính đạo hàm \(d^2(t)\) để dễ xử lý: \[ D(t) = d^2(t) = (40 - 4t)^2 + (18 + 3t)^2 \] \[ D(t) = (40 - 4t)^2 + (18 + 3t)^2 = (1600 - 320t + 16 t^2) + (324 + 108 t + 9 t^2) = 1600 + 324 -320 t + 108 t + 16 t^2 + 9 t^2 \] \[ D(t) = 1924 - 212 t + 25 t^2 \] Đạo hàm: \[ D'(t) = -212 + 50 t \] Đặt \(D'(t) = 0\): \[ 50 t = 212 \Rightarrow t = \frac{212}{50} = 4.24 \text{ s} \] Nhưng \(t\) không vượt quá 4 s, vậy khoảng cách nhỏ nhất xảy ra tại \(t = 4\) s. Tính \(d(4)\): \[ d^2(4) = 1924 - 212 \times 4 + 25 \times 16 = 1924 - 848 + 400 = 1476 \] \[ d(4) = \sqrt{1476} \approx 38.42 \text{ m} \] Cũng cần kiểm tra tại \(t=0\): \[ d(0) = \sqrt{40^2 + 18^2} = \sqrt{1600 + 324} = \sqrt{1924} \approx 43.86 \text{ m} \] Vậy khoảng cách ngắn nhất là khoảng 38.42 m. **Đáp số:** a) Sau 2 giây, khoảng cách hai người là 40 m. b) Khoảng cách ngắn nhất trước khi chạm thành bể đối diện là khoảng 38.42 m. --- **Bài 20:** Hai xe máy khởi hành cùng lúc tại A và B cách nhau 60 km. - Đi cùng chiều về M: sau 40 phút, hai xe cách nhau 80 km lần đầu tiên. - Đi ngược chiều: sau 10 phút, hai xe cách nhau 40 km lần đầu tiên. Gọi vận tốc xe 1 là \(v_1\), xe 2 là \(v_2\) (km/h). **Chú ý:** Thời gian tính theo giờ, 40 phút = \(2/3\) h, 10 phút = \(1/6\) h. --- *Trường hợp 1: đi cùng chiều về M.* Giả sử xe 1 xuất phát trước xe 2 (hoặc ngược lại). Khoảng cách ban đầu giữa hai xe là 60 km. Sau thời gian \(t = \frac{2}{3}\) giờ, khoảng cách lần đầu tiên là 80 km. Vận tốc tương đối giữa hai xe khi đi cùng chiều là \(|v_1 - v_2|\). Khi đi cùng chiều, khoảng cách thay đổi theo thời gian là: \[ d = |v_1 - v_2| \times t \] Do hai xe cách nhau 60 km lúc đầu, nên sau \(t\) giờ khoảng cách sẽ là: \[ d_{t} = 60 \pm |v_1 - v_2| \times t \] Ở đây, lần đầu tiên hai xe cách nhau 80 km (lớn hơn 60), nên: \[ 60 + |v_1 - v_2| \times \frac{2}{3} = 80 \Rightarrow |v_1 - v_2| \times \frac{2}{3} = 20 \Rightarrow |v_1 - v_2| = 30 \] --- *Trường hợp 2: đi ngược chiều.* Khi đi ngược chiều, vận tốc tương đối là \(v_1 + v_2\). Sau \(t = \frac{1}{6}\) giờ, khoảng cách lần đầu tiên là 40 km (nhỏ hơn 60). Khoảng cách lúc đó: \[ d = 60 - (v_1 + v_2) \times \frac{1}{6} = 40 \Rightarrow (v_1 + v_2) \times \frac{1}{6} = 20 \Rightarrow v_1 + v_2 = 120 \] --- Từ hai kết quả: \[ |v_1 - v_2| = 30 \quad (1) \] \[ v_1 + v_2 = 120 \quad (2) \] Giải hệ (giả sử \(v_1 > v_2\)): \[ v_1 - v_2 = 30 \] \[ v_1 + v_2 = 120 \] Cộng: \[ 2 v_1 = 150 \Rightarrow v_1 = 75 \text{ km/h} \] \[ v_2 = 120 - 75 = 45 \text{ km/h} \] **Đáp số:** \(v_1 = 75\) km/h, \(v_2 = 45\) km/h. --- **Bài 21:** Ba thành phố A, B, C thẳng hàng, \(AB = 75\) km. - 8h00: người từ A và người từ B cùng xuất phát đi về C. - 10h30: cả hai cùng đến C. - Người từ B gặp ô tô đi ngược chiều lúc 8h30. - Người từ A gặp ô tô cùng xe đó lúc 9h06 tại điểm M thuộc AB. - Vận tốc ô tô bằng \(\frac{2}{3}\) vận tốc người từ A. - Tất cả chuyển động thẳng đều. Gọi: - \(v_A\) là vận tốc người từ A. - \(v_B\) là vận tốc người từ B. - \(v_O = \frac{2}{3} v_A\) là vận tốc ô tô. --- a) Tính vận tốc người từ A và B. --- 1. Thời gian từ A đến C: \[ t_A = 10.5 \text{ h} \quad (từ 8h đến 10h30) \] 2. Thời gian từ B đến C: \[ t_B = 10.5 \text{ h} \] --- Gọi: - Khoảng cách \(AC = x\). - Khoảng cách \(BC = y\). Có: \[ AB = 75 \Rightarrow y = x - 75 \] Vì \(A - B - C\) thẳng hàng. Vận tốc: \[ v_A = \frac{x}{10.5} \] \[ v_B = \frac{y}{10.5} = \frac{x - 75}{10.5} \] --- 3. Ô tô đi ngược chiều, giả sử ô tô đi từ C về A. Ô tô gặp người từ B lúc 8h30 (nửa giờ sau xuất phát). - Người từ B lúc này đã đi: \[ s_B = v_B \times 0.5 = \frac{x - 75}{10.5} \times 0.5 = \frac{x - 75}{21} \] - Xe ô tô đã đi được: \[ s_O = v_O \times 0.5 = \frac{2}{3} v_A \times 0.5 = \frac{2}{3} \times \frac{x}{10.5} \times 0.5 = \frac{x}{31.5} \] --- Khoảng cách giữa B và C là \(y = x - 75\). Tổng khoảng cách đi được của B và ô tô đến lúc gặp nhau là \(y\): \[ s_B + s_O = y = x - 75 \] Thay: \[ \frac{x - 75}{21} + \frac{x}{31.5} = x - 75 \] Nhân tất cả hai vế với 63 (bội chung của 21 và 31.5) để khử mẫu: \[ 3(x - 75) + 2x = 63(x - 75) \] \[ 3x - 225 + 2x = 63x - 4725 \] \[ 5x - 225 = 63x - 4725 \] \[ 4725 - 225 = 63x - 5x \] \[ 4500 = 58x \] \[ x = \frac{4500}{58} \approx 77.59 \text{ km} \] --- 4. Tính vận tốc: \[ v_A = \frac{77.59}{10.5} \approx 7.39 \text{ km/h} \] \[ v_B = \frac{77.59 - 75}{10.5} = \frac{2.59}{10.5} \approx 0.247 \text{ km/h} \] --- 5. Xác định điểm M trên AB: - Người từ A gặp ô tô lúc 9h06, tức sau 1h06 phút = 1.1 giờ từ 8h00. - Vị trí của người A lúc đó: \[ s_{AM} = v_A \times 1.1 = 7.39 \times 1.1 = 8.13 \text{ km} \] - Vị trí ô tô lúc đó: Ô tô đi từ C về A, xuất phát lúc 8h00, sau 1.1 giờ đi được: \[ s_O = v_O \times 1.1 = \frac{2}{3} v_A \times 1.1 = \frac{2}{3} \times 7.39 \times 1.1 = 5.42 \text{ km} \] Khoảng cách AC là 77.59 km, vậy vị trí ô tô cách A: \[ d_O = 77.59 - 5.42 = 72