Giải chi tiết

Câu 1: Để xác định số điểm cực trị của hàm số \( y = f(x) \), ta cần xem xét đồ thị của đạo hàm \( y = f'(x) \). Bước 1: Xác định các điểm mà \( f'(x) = 0 \) Điểm cực trị của hàm số \( y = f(x) \) xảy ra khi \( f'(x) = 0 \) và đổi dấu. Trên đồ thị, ta tìm các điểm mà đồ thị cắt trục hoành (trục \( x \)). Từ hình vẽ, ta thấy \( f'(x) = 0 \) tại các điểm: - \( x = -2 \) - \( x = 0 \) - \( x = 2 \) Bước 2: Xác định sự đổi dấu của \( f'(x) \) - Tại \( x = -2 \): \( f'(x) \) đổi dấu từ dương sang âm. Do đó, \( x = -2 \) là điểm cực đại của \( f(x) \). - Tại \( x = 0 \): \( f'(x) \) đổi dấu từ âm sang dương. Do đó, \( x = 0 \) là điểm cực tiểu của \( f(x) \). - Tại \( x = 2 \): \( f'(x) \) đổi dấu từ dương sang âm. Do đó, \( x = 2 \) là điểm cực đại của \( f(x) \). Kết luận Hàm số \( y = f(x) \) có 3 điểm cực trị. Câu 2: Để giải bài toán này, ta cần phân tích đồ thị của hàm số \( y = \frac{x-a}{bx+c} \). Bước 1: Xác định tiệm cận đứng Tiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số bằng 0, tức là: \[ bx + c = 0 \] \[ x = -\frac{c}{b} \] Quan sát đồ thị, ta thấy có tiệm cận đứng tại \( x = 2 \). Do đó: \[ -\frac{c}{b} = 2 \] \[ c = -2b \] Bước 2: Xác định tiệm cận ngang Tiệm cận ngang của hàm số là: \[ y = \frac{1}{b} \] Quan sát đồ thị, ta thấy tiệm cận ngang là \( y = 1 \). Do đó: \[ \frac{1}{b} = 1 \] \[ b = 1 \] Bước 3: Xác định giao điểm với trục tung Giao điểm với trục tung xảy ra khi \( x = 0 \): \[ y = \frac{0-a}{b \cdot 0 + c} = \frac{-a}{c} \] Quan sát đồ thị, ta thấy giao điểm với trục tung là \( y = -1 \). Do đó: \[ \frac{-a}{c} = -1 \] \[ a = c \] Bước 4: Tính giá trị của \( P = 2a + b + 4c \) Từ các phương trình trên, ta có: - \( c = -2b \) - \( b = 1 \) - \( a = c \) Thay \( b = 1 \) vào \( c = -2b \), ta có: \[ c = -2 \] Vì \( a = c \), nên: \[ a = -2 \] Bây giờ, tính \( P \): \[ P = 2a + b + 4c = 2(-2) + 1 + 4(-2) \] \[ P = -4 + 1 - 8 \] \[ P = -11 \] Vậy, giá trị của biểu thức \( P \) là \(-11\). Câu 3: Để giải bài toán này, ta cần tìm chiều cao của chiếc hộp sao cho thể tích của nó là lớn nhất, với điều kiện diện tích bề mặt là \(108 \, \text{cm}^2\). 1. Đặt ẩn và điều kiện: - Gọi \(x\) là độ dài cạnh đáy của hình vuông (đơn vị: cm). - Gọi \(h\) là chiều cao của chiếc hộp (đơn vị: cm). 2. Diện tích bề mặt: Diện tích bề mặt của chiếc hộp không có nắp là: \[ S = x^2 + 4xh \] Theo đề bài, \(S = 108\), do đó: \[ x^2 + 4xh = 108 \] 3. Thể tích của chiếc hộp: Thể tích \(V\) của chiếc hộp là: \[ V = x^2h \] 4. Biểu diễn \(h\) theo \(x\): Từ phương trình diện tích bề mặt: \[ x^2 + 4xh = 108 \implies 4xh = 108 - x^2 \implies h = \frac{108 - x^2}{4x} \] 5. Thể tích theo \(x\): Thay \(h\) vào công thức thể tích: \[ V = x^2 \left(\frac{108 - x^2}{4x}\right) = \frac{x(108 - x^2)}{4} = \frac{108x - x^3}{4} \] 6. Tìm giá trị lớn nhất của \(V\): Để tìm giá trị lớn nhất của \(V\), ta tính đạo hàm: \[ V' = \frac{d}{dx}\left(\frac{108x - x^3}{4}\right) = \frac{108 - 3x^2}{4} \] Giải phương trình \(V' = 0\): \[ \frac{108 - 3x^2}{4} = 0 \implies 108 - 3x^2 = 0 \implies 3x^2 = 108 \implies x^2 = 36 \implies x = 6 \] 7. Kiểm tra điều kiện và tính \(h\): Với \(x = 6\), ta tính \(h\): \[ h = \frac{108 - 6^2}{4 \times 6} = \frac{108 - 36}{24} = \frac{72}{24} = 3 \] 8. Kết luận: Giá trị lớn nhất của thể tích là khi \(x = 6\) và \(h = 3\). Vậy chiều cao của chiếc hộp để thể tích lớn nhất là \(3 \, \text{cm}\). Câu 4: Chi phí sản xuất trung bình mỗi sản phẩm là: \[ f(x) = \frac{C(x)}{x} = \frac{3x^2 + x + 15}{x} = 3x + 1 + \frac{15}{x}. \] Để tìm đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( f(x) \), ta thực hiện phép chia đa thức \( 3x^2 + x + 15 \) cho \( x \). Ta có: \[ f(x) = 3x + 1 + \frac{15}{x}. \] Khi \( x \to +\infty \), phần \(\frac{15}{x}\) sẽ tiến về 0. Do đó, đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( f(x) \) là: \[ y = 3x + 1. \] Vậy \( a = 3 \) và \( b = 1 \). Tính \( P = a^2 - b^2 \): \[ P = 3^2 - 1^2 = 9 - 1 = 8. \] Đáp số: \( P = 8 \).