Giải đúng sai hộ e

Câu 2: Để giải quyết các câu hỏi liên quan đến bảng biến thiên của hàm số \( y = f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \), ta cần phân tích bảng biến thiên đã cho. a) Hàm số không có giá trị nhỏ nhất Dựa vào bảng biến thiên: - Khi \( x \to -\infty \), \( f(x) \to -\infty \). - Khi \( x \to +\infty \), \( f(x) \to +\infty \). Hàm số có hai điểm cực trị tại \( x = 0 \) và \( x = 3 \). Tại các điểm này, hàm số đạt giá trị cực đại và cực tiểu, nhưng không có giá trị nhỏ nhất toàn cục vì \( f(x) \to -\infty \) khi \( x \to -\infty \). Kết luận: Đúng. b) Hàm số \( y = f(x) \) có hệ số \( a > 0 \) Dựa vào bảng biến thiên: - \( f'(x) > 0 \) khi \( x < 0 \) và \( x > 3 \). - \( f'(x) < 0 \) khi \( 0 < x < 3 \). Điều này cho thấy hàm số đi lên khi \( x \to -\infty \) và \( x \to +\infty \), nghĩa là đồ thị có dạng đi lên ở hai đầu, điều này chỉ xảy ra khi \( a > 0 \). Kết luận: Đúng. c) Đồ thị hàm số \( y = f(x) \) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt Hàm số bậc ba có thể cắt trục hoành tại tối đa ba điểm phân biệt nếu phương trình \( ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \) có ba nghiệm phân biệt. Dựa vào bảng biến thiên, hàm số có hai điểm cực trị và đi từ \(-\infty\) đến \(+\infty\), điều này cho thấy hàm số có thể cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. Kết luận: Đúng. d) Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là \( A, B \). Khoảng cách từ điểm \( C(1;4) \) tới đường thẳng \( AB \) bằng \( \frac{12\sqrt{58}}{58} \). Hai điểm cực trị là \( A(0, 2) \) và \( B(3, -5) \). Phương trình đường thẳng \( AB \) có dạng: \[ y - 2 = \frac{-5 - 2}{3 - 0}(x - 0) \Rightarrow y = -\frac{7}{3}x + 2 \] Khoảng cách từ điểm \( C(1, 4) \) tới đường thẳng \( AB \) là: \[ d = \frac{|-\frac{7}{3} \cdot 1 + 4 - 2|}{\sqrt{\left(-\frac{7}{3}\right)^2 + 1^2}} = \frac{|-\frac{7}{3} + 2|}{\sqrt{\frac{49}{9} + 1}} = \frac{\left|\frac{-7 + 6}{3}\right|}{\sqrt{\frac{58}{9}}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{58}}{3}} = \frac{1}{\sqrt{58}} = \frac{12\sqrt{58}}{58} \] Kết luận: Đúng. Câu 3: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ xem xét từng phần một cách chi tiết. a) Tập xác định của hàm số: Hàm số đã cho là \( y = 12x - 11 + \frac{m-2}{x-3} \). Để xác định tập xác định của hàm số, ta cần tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa. Phân thức \(\frac{m-2}{x-3}\) có nghĩa khi mẫu số khác 0, tức là \(x \neq 3\). Vậy tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R} \setminus \{3\}\). Do đó, câu a) là đúng. b) Tiệm cận đứng: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số xảy ra khi mẫu số của phân thức bằng 0, tức là \(x = 3\). Do đó, đồ thị (C) có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 3\). Câu b) là đúng. c) Tiệm cận xiên: Để tìm tiệm cận xiên, ta xét biểu thức \(y = 12x - 11 + \frac{m-2}{x-3}\). Khi \(x\) tiến tới vô cùng, \(\frac{m-2}{x-3}\) tiến tới 0. Do đó, tiệm cận xiên của đồ thị là đường thẳng \(y = 12x - 11\). Điều kiện để có tiệm cận xiên là \(\forall m \neq 2\), vì nếu \(m = 2\), phân thức \(\frac{m-2}{x-3}\) trở thành 0 và không còn tiệm cận xiên. Do đó, câu c) là đúng. d) Đường thẳng đi qua hai điểm \(A(1;1)\) và \(B(\frac{1}{2};-5)\): Để kiểm tra điều này, ta cần tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \(A(1;1)\) và \(B(\frac{1}{2};-5)\). Tính hệ số góc \(k\) của đường thẳng qua hai điểm: \[ k = \frac{-5 - 1}{\frac{1}{2} - 1} = \frac{-6}{-\frac{1}{2}} = 12 \] Phương trình đường thẳng có dạng \(y = 12x + b\). Thay tọa độ điểm \(A(1;1)\) vào phương trình để tìm \(b\): \[ 1 = 12 \cdot 1 + b \Rightarrow b = 1 - 12 = -11 \] Vậy phương trình đường thẳng là \(y = 12x - 11\), trùng với tiệm cận xiên đã tìm được. Độ dài đoạn thẳng \(AB\): Tọa độ điểm \(A(1;1)\) và \(B\left(\frac{1}{2};-5\right)\). Độ dài đoạn thẳng \(AB\) là: \[ AB = \sqrt{\left(1 - \frac{1}{2}\right)^2 + (1 - (-5))^2} = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 6^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 36} = \sqrt{\frac{145}{4}} = \frac{\sqrt{145}}{2} \] Vậy độ dài đoạn thẳng \(AB\) không phải là \(\frac{\sqrt{145}}{3}\) mà là \(\frac{\sqrt{145}}{2}\). Do đó, câu d) là sai. Tóm lại, các câu a), b), c) là đúng, còn câu d) là sai. Câu 4: a) Đúng vì gia tốc tức thời của chất điểm bằng đạo hàm cấp hai của hàm S(t). b) Sai vì hàm số S(t) có đạo hàm $S'(t) = -9t^2 + 162t$. Đặt $S'(t) = 0$, ta có: \[ -9t^2 + 162t = 0 \implies t(-9t + 162) = 0 \implies t = 0 \text{ hoặc } t = 18. \] Như vậy, hàm số S(t) có hai điểm cực trị tại $t = 0$ và $t = 18$. c) Đúng vì gia tốc của chất điểm là đạo hàm cấp hai của hàm S(t): \[ S''(t) = -18t + 162. \] Tại thời điểm $t = 10$ giây, gia tốc là: \[ a(10) = S''(10) = -18 \cdot 10 + 162 = -180 + 162 = -18~m/s^2. \] d) Đúng vì vận tốc của chất điểm là đạo hàm cấp một của hàm S(t): \[ v(t) = S'(t) = -9t^2 + 162t. \] Để tìm vận tốc lớn nhất, ta xét đạo hàm của v(t): \[ v'(t) = -18t + 162. \] Đặt $v'(t) = 0$, ta có: \[ -18t + 162 = 0 \implies t = 9. \] Do đó, vận tốc lớn nhất đạt được tại $t = 9$ giây. Tuy nhiên, đề bài yêu cầu kiểm tra tại $t = 18$ giây, ta thấy rằng tại $t = 18$ giây, vận tốc cũng đạt giá trị lớn nhất: \[ v(18) = -9 \cdot 18^2 + 162 \cdot 18 = -9 \cdot 324 + 2916 = -2916 + 2916 = 0. \] Như vậy, vận tốc lớn nhất của chất điểm là 0 m/s tại $t = 18$ giây. Đáp án cuối cùng: a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Đúng