Bài 1. Hình chữ nhật có chiều dài gấp 4 lần chiều rộng. Nếu giảm chiều dài đi 3m và tăng chiều rộng thêm 3m thì diện tích tăng thêm 108m2. Tính diện tích hình chữ nhật ban đầu. Bài 2. Một mảnh vườn hìn...

Bài 1: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Đặt các đại lượng ban đầu Giả sử chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật là \( x \) mét. Theo đề bài, chiều dài ban đầu gấp 4 lần chiều rộng, do đó chiều dài ban đầu là \( 4x \) mét. Bước 2: Tính diện tích ban đầu của hình chữ nhật Diện tích ban đầu của hình chữ nhật là: \[ x \times 4x = 4x^2 \, \text{(m}^2\text{)} \] Bước 3: Xác định các đại lượng sau khi thay đổi - Chiều dài mới sau khi giảm đi 3 mét là \( 4x - 3 \) mét. - Chiều rộng mới sau khi tăng thêm 3 mét là \( x + 3 \) mét. Bước 4: Tính diện tích mới của hình chữ nhật Diện tích mới của hình chữ nhật là: \[ (4x - 3) \times (x + 3) \] Bước 5: Tính diện tích tăng thêm Theo đề bài, diện tích tăng thêm là 108 m². Do đó, ta có phương trình: \[ (4x - 3) \times (x + 3) - 4x^2 = 108 \] Bước 6: Tính toán diện tích tăng thêm Khai triển biểu thức: \[ (4x - 3) \times (x + 3) = 4x \times x + 4x \times 3 - 3 \times x - 3 \times 3 \] \[ = 4x^2 + 12x - 3x - 9 \] \[ = 4x^2 + 9x - 9 \] Do đó, diện tích tăng thêm là: \[ 4x^2 + 9x - 9 - 4x^2 = 108 \] \[ 9x - 9 = 108 \] Bước 7: Giải phương trình để tìm \( x \) \[ 9x - 9 = 108 \] \[ 9x = 108 + 9 \] \[ 9x = 117 \] \[ x = \frac{117}{9} = 13 \] Vậy chiều rộng ban đầu là 13 mét. Bước 8: Tính diện tích ban đầu của hình chữ nhật Chiều dài ban đầu là \( 4 \times 13 = 52 \) mét. Diện tích ban đầu của hình chữ nhật là: \[ 13 \times 52 = 676 \, \text{(m}^2\text{)} \] Vậy diện tích hình chữ nhật ban đầu là 676 m². Bài 2: Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Xác định kích thước ban đầu của mảnh vườn hình vuông: Giả sử cạnh của mảnh vườn hình vuông ban đầu là \( x \) mét. 2. Xác định kích thước của mảnh vườn sau khi mở rộng: - Mở rộng về bên phải 4m, do đó chiều dài mới của mảnh vườn là \( x + 4 \) mét. - Mở rộng phía dưới 31m, do đó chiều rộng mới của mảnh vườn là \( x + 31 \) mét. 3. Thiết lập mối quan hệ giữa chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật: Theo đề bài, chiều rộng bằng \( \frac{1}{4} \) chiều dài. Do đó, ta có phương trình: \[ x + 31 = \frac{1}{4} \times (x + 4) \] 4. Giải phương trình để tìm \( x \): Để giải phương trình này, ta nhân cả hai vế với 4 để loại bỏ phân số: \[ 4 \times (x + 31) = x + 4 \] \[ 4x + 124 = x + 4 \] Trừ \( x \) từ cả hai vế: \[ 3x + 124 = 4 \] Trừ 124 từ cả hai vế: \[ 3x = 4 - 124 \] \[ 3x = -120 \] Chia cả hai vế cho 3: \[ x = -40 \] Tuy nhiên, giá trị âm không hợp lý trong ngữ cảnh này. Do đó, có thể có lỗi trong việc thiết lập phương trình. Hãy kiểm tra lại các bước trước đó. 5. Tính diện tích mảnh vườn sau khi mở rộng: Giả sử \( x \) là giá trị hợp lý, diện tích mảnh vườn sau khi mở rộng là: \[ (x + 4) \times (x + 31) \] Thay giá trị \( x \) đã tìm được vào để tính diện tích. Do có lỗi trong việc thiết lập phương trình, hãy kiểm tra lại các bước và điều kiện ban đầu để đảm bảo tính chính xác. Bài 3: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm diện tích của hình chữ nhật và hình vuông. Ta sẽ thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Đặt các đại lượng cần tìm - Gọi cạnh của hình vuông là \( a \) (m). - Chiều dài của hình chữ nhật cũng là \( a \) (m). - Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là \( b \) (m). Bước 2: Thiết lập các phương trình từ điều kiện bài toán 1. Chu vi hình vuông là \( 4a \). 2. Chu vi hình chữ nhật là \( 2(a + b) \). 3. Theo đề bài, chu vi hình chữ nhật kém chu vi hình vuông 28m: \[ 2(a + b) = 4a - 28 \] 4. Diện tích hình vuông là \( a^2 \). 5. Diện tích hình chữ nhật là \( a \times b \). 6. Theo đề bài, diện tích hình chữ nhật kém diện tích hình vuông 378m²: \[ a \times b = a^2 - 378 \] Bước 3: Giải các phương trình Từ phương trình chu vi: \[ 2(a + b) = 4a - 28 \] Chia cả hai vế cho 2: \[ a + b = 2a - 14 \] Suy ra: \[ b = 2a - 14 - a = a - 14 \] Thay \( b = a - 14 \) vào phương trình diện tích: \[ a \times (a - 14) = a^2 - 378 \] \[ a^2 - 14a = a^2 - 378 \] Rút gọn: \[ -14a = -378 \] Chia cả hai vế cho -14: \[ a = \frac{378}{14} = 27 \] Bước 4: Tính diện tích mỗi hình - Cạnh hình vuông \( a = 27 \) m, nên diện tích hình vuông là: \[ a^2 = 27 \times 27 = 729 \, \text{m}^2 \] - Chiều rộng hình chữ nhật \( b = a - 14 = 27 - 14 = 13 \) m, nên diện tích hình chữ nhật là: \[ a \times b = 27 \times 13 = 351 \, \text{m}^2 \] Vậy diện tích hình vuông là \( 729 \, \text{m}^2 \) và diện tích hình chữ nhật là \( 351 \, \text{m}^2 \). Bài 4: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm diện tích ban đầu của hình chữ nhật. Gọi chiều dài ban đầu là \( l \) và chiều rộng ban đầu là \( w \). Bước 1: Xác định diện tích tăng khi tăng chiều rộng thêm 6m Khi tăng chiều rộng thêm 6m, diện tích tăng 240m². Do đó, diện tích mới là: \[ (l) \times (w + 6) = lw + 240 \] Suy ra: \[ lw + 6l = lw + 240 \] Từ đó, ta có: \[ 6l = 240 \] Suy ra chiều dài \( l = \frac{240}{6} = 40 \) m. Bước 2: Xác định diện tích tăng khi tăng chiều rộng thêm 6m và giảm chiều dài đi 6m Khi tăng chiều rộng thêm 6m và giảm chiều dài đi 6m, diện tích tăng 6m². Do đó, diện tích mới là: \[ (l - 6) \times (w + 6) = lw + 6 \] Suy ra: \[ lw - 6w + 6l - 36 = lw + 6 \] Từ đó, ta có: \[ 6l - 6w - 36 = 6 \] Suy ra: \[ 6l - 6w = 42 \] Thay \( l = 40 \) vào phương trình trên: \[ 6 \times 40 - 6w = 42 \] \[ 240 - 6w = 42 \] Suy ra: \[ 6w = 240 - 42 = 198 \] Do đó, chiều rộng \( w = \frac{198}{6} = 33 \) m. Bước 3: Tính diện tích ban đầu của hình chữ nhật Diện tích ban đầu của hình chữ nhật là: \[ l \times w = 40 \times 33 = 1320 \, \text{m}^2 \] Vậy, diện tích ban đầu của hình chữ nhật là 1320 m². Bài 5: Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định chiều rộng ban đầu của khu vườn. Giả sử chiều rộng ban đầu của khu vườn là $x$ mét. Diện tích ban đầu của khu vườn hình chữ nhật là: \[ \text{Diện tích ban đầu} = \text{Chiều dài} \times \text{Chiều rộng} = 35 \times x \] Bước 2: Xác định chiều rộng sau khi mở thêm. Chiều rộng sau khi mở thêm là gấp rưỡi chiều rộng ban đầu, tức là: \[ \text{Chiều rộng mới} = x + \frac{1}{2}x = \frac{3}{2}x \] Bước 3: Tính diện tích mới của khu vườn. Diện tích mới của khu vườn sau khi mở thêm là: \[ \text{Diện tích mới} = \text{Chiều dài} \times \text{Chiều rộng mới} = 35 \times \frac{3}{2}x \] Bước 4: Tính diện tích tăng thêm. Theo đề bài, diện tích tăng thêm là 280 m². Do đó, ta có: \[ \text{Diện tích mới} - \text{Diện tích ban đầu} = 280 \] Thay các giá trị đã biết vào, ta có: \[ 35 \times \frac{3}{2}x - 35 \times x = 280 \] Bước 5: Giải phương trình để tìm chiều rộng ban đầu $x$. \[ 35 \times \frac{3}{2}x - 35 \times x = 280 \] \[ 35 \times \left(\frac{3}{2}x - x\right) = 280 \] \[ 35 \times \frac{1}{2}x = 280 \] \[ \frac{35x}{2} = 280 \] Nhân cả hai vế với 2 để loại bỏ mẫu số: \[ 35x = 560 \] Chia cả hai vế cho 35 để tìm $x$: \[ x = \frac{560}{35} = 16 \] Vậy chiều rộng ban đầu của khu vườn là 16 mét. Bước 6: Tính diện tích khu vườn khi mở thêm. Chiều rộng mới là: \[ \frac{3}{2} \times 16 = 24 \text{ mét} \] Diện tích mới của khu vườn là: \[ 35 \times 24 = 840 \text{ m}^2 \] Vậy diện tích khu vườn khi mở thêm là 840 m². Bài 6: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm chiều dài và chiều rộng của khu đất hình chữ nhật trước khi tính diện tích. Dưới đây là các bước giải chi tiết: Bước 1: Xác định các thông tin đã cho - Chiều dài hơn 2 lần chiều rộng là 8m. - Chiều dài kém 3 lần chiều rộng là 64m. Bước 2: Thiết lập các biểu thức Giả sử chiều rộng là $x$ (m). - Theo thông tin thứ nhất: Chiều dài là $2x + 8$ (m). - Theo thông tin thứ hai: Chiều dài là $3x - 64$ (m). Bước 3: Tìm chiều rộng Vì cả hai biểu thức đều biểu diễn chiều dài, ta có: \[ 2x + 8 = 3x - 64 \] Để tìm $x$, ta thực hiện các phép tính sau: - Trừ $2x$ từ cả hai vế: \[ 8 = x - 64 \] - Cộng 64 vào cả hai vế: \[ x = 72 \] Vậy chiều rộng của khu đất là 72m. Bước 4: Tìm chiều dài Thay $x = 72$ vào biểu thức chiều dài: \[ 2x + 8 = 2 \times 72 + 8 = 144 + 8 = 152 \] Vậy chiều dài của khu đất là 152m. Bước 5: Tính diện tích khu đất Diện tích của khu đất hình chữ nhật được tính bằng công thức: \[ \text{Diện tích} = \text{Chiều dài} \times \text{Chiều rộng} \] \[ \text{Diện tích} = 152 \times 72 \] Thực hiện phép nhân: \[ 152 \times 72 = 10944 \] Vậy diện tích của khu đất là 10944 mét vuông. Bài 7: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm diện tích ban đầu của khu vườn hình chữ nhật. Ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định các thông tin đã cho - Khi đổi chiều rộng thành 5m, diện tích giảm 600m². - Khi đổi chiều rộng thành 7m, diện tích giảm 540m². Bước 2: Thiết lập mối quan hệ giữa chiều dài và chiều rộng Giả sử chiều dài ban đầu là \( L \) và chiều rộng ban đầu là \( W \). - Khi chiều rộng là 5m, diện tích là \( 5 \times L \). - Khi chiều rộng là 7m, diện tích là \( 7 \times L \). Bước 3: Thiết lập phương trình cho diện tích giảm - Diện tích ban đầu là \( L \times W \). - Khi chiều rộng là 5m, diện tích giảm 600m², tức là: \[ L \times W - 5 \times L = 600 \] Suy ra: \[ L \times (W - 5) = 600 \] - Khi chiều rộng là 7m, diện tích giảm 540m², tức là: \[ L \times W - 7 \times L = 540 \] Suy ra: \[ L \times (W - 7) = 540 \] Bước 4: Tìm chiều dài \( L \) Từ hai phương trình: 1. \( L \times (W - 5) = 600 \) 2. \( L \times (W - 7) = 540 \) Trừ phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất: \[ L \times (W - 5) - L \times (W - 7) = 600 - 540 \] \[ L \times (W - 5 - (W - 7)) = 60 \] \[ L \times 2 = 60 \] \[ L = 30 \] Bước 5: Tìm diện tích ban đầu Thay \( L = 30 \) vào một trong hai phương trình để tìm \( W \): \[ 30 \times (W - 5) = 600 \] \[ W - 5 = \frac{600}{30} \] \[ W - 5 = 20 \] \[ W = 25 \] Diện tích ban đầu của khu vườn là: \[ L \times W = 30 \times 25 = 750 \] Vậy, diện tích khu vườn ban đầu là 750m². Bài 8: Số vịt sau khi bán bớt nhiều hơn số gà là: $13+8=21(con)$ Tổng số vịt và gà còn lại là: $100-15=85(con)$ Số vịt lúc sau là: $(85+21):2=53(con)$ Số vịt lúc đầu là: $53+15=68(con)$ Số gà lúc đầu là: $100-68=32(con)$ Đáp số: Vịt: 68 con Gà: 32 con Bài 9: Tuổi bố gấp 4 lần tuổi con nên nếu coi tuổi con là 1 phần thì tuổi bố là 4 phần như thế. Tổng số phần bằng nhau là: $1+4=5$ (phần) Giá trị của 1 phần là: $50:5=10$ (tuổi) Tuổi con hiện nay là: $10\times 1=10$ (tuổi) Tuổi bố hiện nay là: $10\times 4=40$ (tuổi) Hiệu giữa tuổi bố và tuổi con là: $40-10=30$ (tuổi) Khi tuổi bố gấp 3 lần tuổi con thì tuổi con lúc đó là: $30:(3-1)=15$ (tuổi) Số năm để tuổi bố gấp 3 lần tuổi con là: $15-10=5(năm)$ Đáp số: 5 năm Bài 10: Lời giải chi tiết: Bước 1: Xác định hiệu và tỉ số của hai số. - Khi chuyển 2 lít từ bình thứ nhất sang bình thứ hai thì số dầu ở hai bình bằng nhau. Điều này có nghĩa là bình thứ nhất ban đầu nhiều hơn bình thứ hai 4 lít (vì 2 lít đã chuyển đi và 2 lít đã nhận thêm). - Khi chuyển 2 lít từ bình thứ hai sang bình thứ nhất thì số dầu ở bình thứ hai bằng $\frac{1}{3}$ số dầu ở bình thứ nhất. Điều này có nghĩa là sau khi chuyển, bình thứ hai sẽ có số dầu bằng $\frac{1}{3}$ số dầu của bình thứ nhất. Bước 2: Xác định hiệu số phần bằng nhau. - Sau khi chuyển 2 lít từ bình thứ hai sang bình thứ nhất, bình thứ hai sẽ có số dầu bằng $\frac{1}{3}$ số dầu của bình thứ nhất. Điều này có nghĩa là bình thứ nhất sẽ có 3 phần và bình thứ hai sẽ có 1 phần. Bước 3: Tìm giá trị của 1 phần. - Hiệu số phần bằng nhau là 3 - 1 = 2 phần. - Giá trị của 1 phần là 4 lít : 2 = 2 lít. Bước 4: Tìm số dầu ở mỗi bình. - Bình thứ hai sau khi chuyển 2 lít sẽ có 2 lít (1 phần). - Bình thứ nhất sau khi chuyển 2 lít sẽ có 6 lít (3 phần). Bước 5: Tính số dầu ban đầu của mỗi bình. - Bình thứ hai ban đầu có 2 lít + 2 lít = 4 lít. - Bình thứ nhất ban đầu có 6 lít - 2 lít = 8 lít. Đáp số: Bình thứ nhất có 8 lít dầu, bình thứ hai có 4 lít dầu. Bài 11: Khi gấp số hạng thứ nhất lên 5 lần và số hạng thứ hai lên 3 lần thì tổng tăng thêm là: \(4459 - 1047 = 3412\) Số hạng thứ nhất gấp lên 5 lần so với ban đầu tức là số hạng thứ nhất gấp lên 4 lần và thêm chính nó nữa. Tương tự, số hạng thứ hai gấp lên 3 lần so với ban đầu tức là số hạng thứ hai gấp lên 2 lần và thêm chính nó nữa. Như vậy, số hạng thứ nhất gấp lên 4 lần và số hạng thứ hai gấp lên 2 lần sẽ bằng 3412. Ta có: \(4 \times \text{số hạng thứ nhất} + 2 \times \text{số hạng thứ hai} = 3412\) Hay: \(2 \times (2 \times \text{số hạng thứ nhất} + \text{số hạng thứ hai}) = 3412\) Do đó: \(2 \times \text{số hạng thứ nhất} + \text{số hạng thứ hai} = 3412 : 2 = 1706\) Mà ta cũng biết rằng: \(\text{số hạng thứ nhất} + \text{số hạng thứ hai} = 1047\) Bây giờ, ta có hai phương trình: 1. \(\text{số hạng thứ nhất} + \text{số hạng thứ hai} = 1047\) 2. \(2 \times \text{số hạng thứ nhất} + \text{số hạng thứ hai} = 1706\) Trừ phương trình thứ nhất từ phương trình thứ hai: \[ (2 \times \text{số hạng thứ nhất} + \text{số hạng thứ hai}) - (\text{số hạng thứ nhất} + \text{số hạng thứ hai}) = 1706 - 1047 \] Điều này cho ta: \[ \text{số hạng thứ nhất} = 659 \] Thay giá trị của số hạng thứ nhất vào phương trình đầu tiên: \[ 659 + \text{số hạng thứ hai} = 1047 \] Do đó: \[ \text{số hạng thứ hai} = 1047 - 659 = 388 \] Vậy hai số đó là 659 và 388. Đáp số: 659 và 388. Bài 12: Khi ghép số bé vào bên trái số lớn thì số lớn sẽ đứng ở hàng đơn vị và hàng chục, còn số bé sẽ đứng ở hàng trăm và hàng nghìn. Khi ghép số lớn vào bên trái số bé thì số bé sẽ đứng ở hàng đơn vị và hàng chục, còn số lớn sẽ đứng ở hàng trăm và hàng nghìn. Gọi số lớn là a và số bé là b. Ta có: - Khi ghép số bé vào bên trái số lớn, ta được số có bốn chữ số là 100b + a. - Khi ghép số lớn vào bên trái số bé, ta được số có bốn chữ số là 100a + b. Theo đề bài, ta có: 1. Tổng của hai số là 54: a + b = 54 2. Hiệu của hai số có bốn chữ số là 1386: (100a + b) - (100b + a) = 1386 Ta có thể viết lại phương trình thứ hai như sau: (100a + b) - (100b + a) = 1386 100a + b - 100b - a = 1386 99a - 99b = 1386 99(a - b) = 1386 a - b = 1386 : 99 a - b = 14 Bây giờ, ta có hệ phương trình: a + b = 54 a - b = 14 Áp dụng phương pháp tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó: Số lớn = (tổng + hiệu) : 2 a = (54 + 14) : 2 a = 68 : 2 a = 34 Số bé = tổng - số lớn b = 54 - 34 b = 20 Vậy hai số đó là 34 và 20. Bài 13: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó. Bước 1: Xác định hiệu và tỉ số. - Hiệu giữa tuổi bố và tuổi mẹ là 4 tuổi. - 7 năm trước, tuổi bố gấp 8 lần tuổi con, còn tuổi con bằng 1/7 tuổi mẹ. Bước 2: Xác định đại lượng nào là số bé và đại lượng nào là số lớn. - Gọi tuổi con 7 năm trước là \( c \). - Tuổi bố 7 năm trước là \( 8c \). - Tuổi mẹ 7 năm trước là \( 7c \). Bước 3: Áp dụng công thức. - Hiệu số phần bằng nhau giữa tuổi bố và tuổi mẹ 7 năm trước là \( 8c - 7c = c \). - Giá trị của 1 phần là 4 tuổi (vì hiệu giữa tuổi bố và tuổi mẹ là 4 tuổi). - Vậy \( c = 4 \). Bước 4: Tìm tuổi bố và tuổi mẹ 7 năm trước. - Tuổi con 7 năm trước là \( c = 4 \) tuổi. - Tuổi bố 7 năm trước là \( 8c = 8 \times 4 = 32 \) tuổi. - Tuổi mẹ 7 năm trước là \( 7c = 7 \times 4 = 28 \) tuổi. Bước 5: Tìm tuổi bố và tuổi mẹ hiện nay. - Tuổi con hiện nay là \( 4 + 7 = 11 \) tuổi. - Tuổi bố hiện nay là \( 32 + 7 = 39 \) tuổi. - Tuổi mẹ hiện nay là \( 28 + 7 = 35 \) tuổi. Vậy tuổi bố hiện nay là 39 tuổi và tuổi mẹ hiện nay là 35 tuổi. Bài 14: Tổng số tuổi của ba bố con là 60 tuổi. Ta có sơ đồ biểu thị tổng số tuổi của ba bố con: Bố: |----|----|----| Anh: |----|----| Em: |----| Tổng số phần bằng nhau là: $3+2+1=6$ (phần). Giá trị của một phần là: $60:6=10$ (tuổi). Tuổi bố là: $10 \times 3 = 30$ (tuổi). Tuổi anh là: $10 \times 2 = 20$ (tuổi). Tuổi em là: $10 \times 1 = 10$ (tuổi). Đáp số: Bố: 30 tuổi; Anh: 20 tuổi; Em: 10 tuổi. Bài 15: Số vở của mỗi bạn sau khi cho đi là: $27:3=9(quyển)$ Số vở của Hương lúc đầu là: $9+3-5=7(quyển)$ Số vở của Hằng lúc đầu là: $9+2-3=8(quyển)$ Số vở của Hà lúc đầu là: $9+5-2=12(quyển)$ Đáp số: Hà: 12 quyển vở Hương: 7 quyển vở Hằng: 8 quyển vở