Một quả bóng có dung tích không thay đổi là 4 lít, chứa không khí ở áp suất 10^5 Pa. Người ta thử khả năng chịu được áp suất cao nhất của bóng bằng cách bơm không khí (ở áp suất 10^5 Pa) vào bóng, mỗi lần bơm 200 cm³. Kết quả, nó chỉ chịu được tối đa 25 lần bơm. Coi như trong khi bơm, nhiệt độ của không khí không thay đổi. Áp suất tối đa quả bóng chịu được là X - 10^5 Pa. Tìm giá trị X.

Question

ღ_Ebe Jinny_ღ · Accepted Answer

Thể tích không khi được bơm vào bóng là $V_{b m}=25 imes 200 \mathrm{~cm}^3=5000 \mathrm{~cm}^3$.
Thể tích ban đầu của không khi trong bóng là $V_{ ext {banđ } u}=4$ lít $=4000 \mathrm{~cm}^3$.
Tổng thể tích không khi được bơm vào là

$V_{t n g}=V_{b a n \AA u}+V_{b m}=4000 \mathrm{~cm}^3+5000 \mathrm{~cm}^3=9000 \mathrm{~cm}^3$

Áp suất ban đẩu của không khi là $p_{ ext {banđ } u}=10^5 \mathrm{~Pa}$.
Áp suất tối đa mà quả bóng chịu được là $p_{t i c} a$.
Theo định luật Boyle-Mariotte, $p_{ ext {banđ } u} imes V_{ ext {tng }}=p_{ ext {tiđa } a} imes V_{ ext {bóng }}$.

$p_{t i đ a}=\frac{p_{b a n đ u} imes V_{t n g}}{V_{b o ́ n g}}=\frac{10^5 \mathrm{~Pa} imes 9000 \mathrm{~cm}^3}{4000 \mathrm{~cm}^3}=2.25 imes 10^5 \mathrm{~Pa} .$

Áp suất tối đa quả bóng chịu được là $X-10^5 \mathrm{~Pa}$.

$$
\begin{aligned}
& X-10^5 \mathrm{~Pa}=2.25 imes 10^5 \mathrm{~Pa} \
& X=2.25 imes 10^5 \mathrm{~Pa}+10^5 \mathrm{~Pa}=3.25 imes 10^5 \mathrm{~Pa}
\end{aligned}
$$

Timi · Answer

Dữ liệu bài toán:
- Thể tích quả bóng ban đầu $ V_0 = 4 \, l = 4000 \, cm^3 $
- Áp suất ban đầu $ P_0 = 10^5 \, Pa $
- Mỗi lần bơm thêm thể tích $ V_{bơm} = 200 \, cm^3 $ (ở áp suất khí bơm là $ 10^5 \, Pa $)
- Số lần bơm tối đa: 25 lần
- Nhiệt độ không đổi (quá trình đẳng nhiệt)

---

**Phân tích:**

- Ban đầu, trong quả bóng có không khí với thể tích $ V_0 = 4000 \, cm^3 $, áp suất $ P_0 = 10^5 \, Pa $.
- Mỗi lần bơm thêm 200 cm³ khí với áp suất ngoài là $ 10^5 \, Pa $.
- Khi bơm, nhiệt độ không đổi => quá trình đẳng nhiệt, áp dụng định luật khí lý tưởng đẳng nhiệt: $ P V = const $ đối với cùng một lượng khí.

---

**Bước 1: Tính lượng khí ban đầu**

Số mol khí ban đầu tỉ lệ với:

$$
n_0 = \frac{P_0 V_0}{R T}
$$

---

**Bước 2: Sau mỗi lần bơm**

- Lượng khí thêm vào mỗi lần bơm:

$$
\Delta n = \frac{P_0 V_{bơm}}{R T}
$$

- Sau $ k $ lần bơm, lượng khí trong bóng là:

$$
n_k = n_0 + k \Delta n = \frac{P_0 V_0}{R T} + k \frac{P_0 V_{bơm}}{R T} = \frac{P_0}{R T} (V_0 + k V_{bơm})
$$

---

**Bước 3: Thể tích bóng không thay đổi**

Dung tích bóng là $ V_0 = 4000 \, cm^3 $, không đổi.

Áp suất sau $ k $ lần bơm là $ P_k $.

Áp dụng định luật khí lý tưởng đẳng nhiệt:

$$
P_k V_0 = n_k R T \Rightarrow P_k V_0 = \frac{P_0}{R T} (V_0 + k V_{bơm}) R T = P_0 (V_0 + k V_{bơm})
$$

Suy ra:

$$
P_k = P_0 \frac{V_0 + k V_{bơm}}{V_0} = P_0 \left(1 + \frac{k V_{bơm}}{V_0}\right)
$$

---

**Bước 4: Thay số**

- $ P_0 = 10^5 \, Pa $
- $ V_0 = 4000 \, cm^3 $
- $ V_{bơm} = 200 \, cm^3 $
- $ k = 25 $

Tính $ P_{25} $:

$$
P_{25} = 10^5 \left(1 + \frac{25 \times 200}{4000}\right) = 10^5 \left(1 + \frac{5000}{4000}\right) = 10^5 \left(1 + 1.25\right) = 10^5 \times 2.25 = 2.25 \times 10^5 \, Pa
$$

---

**Bước 5: Áp suất tối đa quả bóng chịu được là $ X \times 10^5 \, Pa $**

Ta có $ X = 2.25 $.

---

**Kết luận:**

Áp suất tối đa quả bóng chịu được là:

$$
\boxed{2.25 \times 10^5 \, Pa}
$$

Vậy giá trị $ X = 2.25 $.

Một quả bóng có dung tích không thay đổi là 4 lít, chứa không khí ở áp suất 10^5 Pa. Người ta thử khả năng chịu được áp suất cao nhất của bóng bằng cách bơm không khí (ở áp suất 10^5 Pa) vào bóng, mỗi...