Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Cho tam giác ABC vuông tại A, trên hai cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm B' và,C' sao cho $AB.AB^\prime=AC.AC^\prime.$ Gọi M là trung điểm của BC. Tính $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}$,Trả lời: $\Box$

Question

Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Cho tam giác ABC vuông tại A, trên hai cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm B&#x27; và,C&#x27; sao cho $AB.AB^\prime=AC.AC^\prime.$ Gọi M là trung điểm của BC. Tính $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}$,Trả lời: $\Box$

ft. Hoàng · Accepted Answer

{"userId":5292988,"userName":"Creepy Pasta"}

Vì $M$ là trung điểm của $BC$, theo tính chất đường trung tuyến trong tam giác, ta có:

$$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$$

Vectơ $\overrightarrow{BC}$ được biểu diễn qua hiệu hai vectơ cạnh:

$$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$$

$$\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) \cdot (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB})$$

$$\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB}) \cdot (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB})$$

$$\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}^2 - \overrightarrow{AB}^2)$$

$$\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}(AC^2 - AB^2)$$

Vậy: Kết quả của phép tính tích vô hướng là: $$\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC} = \frac{AC^2 - AB^2}{2}$$

Timi · Answer

Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm giá trị của biểu thức $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}$.

1. Xác định các điểm và trung điểm:
   - Tam giác $ABC$ vuông tại $A$.
   - Điểm $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$. Điều này có nghĩa là $BM = MC$.

2. Tính $\overrightarrow{AM}$:
   - Vì $M$ là trung điểm của $BC$, nên $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$.

3. Tính $\overrightarrow{BC}$:
   - $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{B}$.

4. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}$:
   - $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC} = \left(\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})\right).(\overrightarrow{C} - \overrightarrow{B})$.

5. Phân tích và tính toán:
   - Tích vô hướng $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}$ có thể được tính bằng cách phân tích thành các thành phần:
     $$
     \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{C} - \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{B} + \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{C} - \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B})
     $$
   - Do tam giác $ABC$ vuông tại $A$, nên $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 0$.

6. Kết luận:
   - Từ các tính toán trên, ta thấy rằng $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC} = 0$.

Vậy, giá trị của $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}$ là $\boxed{0}$.

✧˖°. 사랑🅽🅷í🅼~🅳🅰🆈🆈𝜗𝜚 ⊹ · Answer

1. Phân tích bài toán

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$.

$B'$ nằm trên $AB$, $C'$ nằm trên $AC$ sao cho $AB \cdot AB' = AC \cdot AC'$.
$M$ là trung điểm của $BC$.
Yêu cầu: Tính tích vô hướng $\vec{AM} \cdot \vec{B'C'}$.

2. Giải chi tiết

Đặt hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho $A(0;0)$, $B(b;0)$ và $C(0;c)$ với $b, c > 0$.

Khi đó:

Vì $M$ là trung điểm của $BC$, ta có $M\left(\frac{b}{2}; \frac{c}{2}\right)$. Suy ra $\vec{AM} = \left(\frac{b}{2}; \frac{c}{2}\right)$.
Vì $B'$ thuộc $AB$ và $C'$ thuộc $AC$, ta có tọa độ $B'(b'; 0)$ và $C'(0; c')$.
Theo giả thiết $AB \cdot AB' = AC \cdot AC'$, ta có: $|b| \cdot |b'| = |c| \cdot |c'|$.
Vì $B', C'$ lần lượt nằm trên các cạnh $AB, AC$ nên $b, b'$ cùng dấu và $c, c'$ cùng dấu. Do đó $b \cdot b' = c \cdot c'$.
Vector $\vec{B'C'} = (0 - b'; c' - 0) = (-b'; c')$.

Bây giờ, ta tính tích vô hướng:

$$\vec{AM} \cdot \vec{B'C'} = \frac{b}{2} \cdot (-b') + \frac{c}{2} \cdot c'$$

$$\vec{AM} \cdot \vec{B'C'} = \frac{-b \cdot b' + c \cdot c'}{2}$$

Thay $b \cdot b' = c \cdot c'$ vào biểu thức trên:

$$\vec{AM} \cdot \vec{B'C'} = \frac{-c \cdot c' + c \cdot c'}{2} = 0$$

Kết quả:

Trả lời: 0

Tích vô hướng bằng 0 đồng nghĩa với việc đoạn thẳng $AM$ vuông góc với đoạn thẳng $B'C'$.