Đề bài: Cho $a, b, c 0$ thỏa mãn $a + b + c = 3$. Chứng minh rằng:$\frac{a}{1+b^2} + \frac{b}{1+c^2} + \frac{c}{1+a^2} \ge \frac{3}{2}$

Question

Đề bài: Cho $a, b, c > 0$ thỏa mãn $a + b + c = 3$. Chứng minh rằng:$\frac{a}{1+b^2} + \frac{b}{1+c^2} + \frac{c}{1+a^2} \ge \frac{3}{2}$

✧˖°. 사랑🅽🅷í🅼~🅳🅰🆈🆈𝜗𝜚 ⊹ · Accepted Answer

Đề bài

Cho $a, b, c > 0$ thỏa mãn $a + b + c = 3$. Chứng minh rằng:

$$\frac{a}{1+b^2} + \frac{b}{1+c^2} + \frac{c}{1+a^2} \geq \frac{3}{2}$$

Lời giải chi tiết

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng kỹ thuật AM-GM ngược dấu (Cauchy ngược dấu) để xử lý các phân thức ở vế trái.

Bước 1: Biến đổi từng hạng tử của vế trái

Xét hạng tử đầu tiên $\frac{a}{1+b^2}$. Ta có thể viết lại như sau:

$$\frac{a}{1+b^2} = a - \frac{ab^2}{1+b^2}$$

Bước 2: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho mẫu số

Vì $b > 0$, theo bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương $1$ và $b^2$, ta có:

$$1 + b^2 \geq 2\sqrt{1 \cdot b^2} = 2b$$

Suy ra:

$$\frac{ab^2}{1+b^2} \leq \frac{ab^2}{2b} = \frac{ab}{2}$$

Do đó:

$$\frac{a}{1+b^2} = a - \frac{ab^2}{1+b^2} \geq a - \frac{ab}{2}$$

Bước 3: Thiết lập các bất đẳng thức tương tự

Hoàn toàn tương tự với hai hạng tử còn lại, ta có:

$$\frac{b}{1+c^2} = b - \frac{bc^2}{1+c^2} \geq b - \frac{bc}{2}$$

$$\frac{c}{1+a^2} = c - \frac{ca^2}{1+a^2} \geq c - \frac{ca}{2}$$

Bước 4: Cộng các vế của các bất đẳng thức

Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được:

$$\frac{a}{1+b^2} + \frac{b}{1+c^2} + \frac{c}{1+a^2} \geq (a + b + c) - \frac{ab + bc + ca}{2}$$

Bước 5: Sử dụng giả thiết và bất đẳng thức phụ

Theo giả thiết, ta có $a + b + c = 3$.

Mặt khác, ta có bất đẳng thức phụ quen thuộc: $(a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ca)$.

Thay $a+b+c=3$ vào, ta có:

$$3^2 \geq 3(ab+bc+ca) \Rightarrow 9 \geq 3(ab+bc+ca) \Rightarrow ab+bc+ca \leq 3$$

Thay các giá trị này vào biểu thức ở Bước 4:

$$ ext{Vế trái} \geq 3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$$

Kết luận:

Bất đẳng thức đã được chứng minh.

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c = 1$.

Timi · Answer

Chúng ta sẽ chứng minh bất đẳng thức $\frac{a}{1+b^2} + \frac{b}{1+c^2} + \frac{c}{1+a^2} \ge \frac{3}{2}$ bằng cách sử dụng các phép toán cơ bản và không sử dụng các phương pháp phức tạp.

Bước 1: Ta biết rằng $a + b + c = 3$ và $a, b, c > 0$.

Bước 2: Chúng ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong dạng tổng quát:
$$
\left( \frac{a}{1+b^2} + \frac{b}{1+c^2} + \frac{c}{1+a^2} \right) \left( a(1+b^2) + b(1+c^2) + c(1+a^2) \right) \geq (a + b + c)^2
$$

Bước 3: Tính giá trị của $a(1+b^2) + b(1+c^2) + c(1+a^2)$:
$$
a(1+b^2) + b(1+c^2) + c(1+a^2) = a + ab^2 + b + bc^2 + c + ca^2
$$
$$
= (a + b + c) + (ab^2 + bc^2 + ca^2)
$$
$$
= 3 + (ab^2 + bc^2 + ca^2)
$$

Bước 4: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
$$
\left( \frac{a}{1+b^2} + \frac{b}{1+c^2} + \frac{c}{1+a^2} \right) \left( 3 + (ab^2 + bc^2 + ca^2) \right) \geq 9
$$

Bước 5: Để chứng minh $\frac{a}{1+b^2} + \frac{b}{1+c^2} + \frac{c}{1+a^2} \ge \frac{3}{2}$, chúng ta cần chứng minh:
$$
3 + (ab^2 + bc^2 + ca^2) \leq 6
$$
$$
ab^2 + bc^2 + ca^2 \leq 3
$$

Bước 6: Ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM:
$$
ab^2 + bc^2 + ca^2 \leq \frac{(a + b + c)(b^2 + c^2 + a^2)}{3}
$$
$$
= \frac{3(b^2 + c^2 + a^2)}{3}
$$
$$
= b^2 + c^2 + a^2
$$

Bước 7: Ta biết rằng $a + b + c = 3$, nên:
$$
a^2 + b^2 + c^2 \leq 3
$$

Bước 8: Kết hợp các kết quả trên, ta có:
$$
\left( \frac{a}{1+b^2} + \frac{b}{1+c^2} + \frac{c}{1+a^2} \right) \left( 3 + (ab^2 + bc^2 + ca^2) \right) \geq 9
$$
$$
\left( \frac{a}{1+b^2} + \frac{b}{1+c^2} + \frac{c}{1+a^2} \right) \cdot 6 \geq 9
$$
$$
\frac{a}{1+b^2} + \frac{b}{1+c^2} + \frac{c}{1+a^2} \ge \frac{3}{2}
$$

Vậy, chúng ta đã chứng minh rằng:
$$
\frac{a}{1+b^2} + \frac{b}{1+c^2} + \frac{c}{1+a^2} \ge \frac{3}{2}
$$