« CÂU HỎI
Toán học · Lớp $8$
Giải các hệ phương trình sau $c)\left\{\begin{array}{l}\frac x{x+1}-\frac2{y+1}=2\\frac{2x}{x+1}+\frac1{y+1}=7;\end{array} ight.$,$e)\left\{\begin{array}{l}\frac1{x+y-2}+\frac2{x-y-1}=4\\frac2{x+y-2}-\frac1{x-y-1}=6.\end{array} ight.$,1:,$b)\left\{\begin{array}{l}\frac1{\sqrt x}+\frac1{\sqrt y}=2\\frac6{\sqrt x}-\frac5{\sqrt y}=1.\end{array} ight.$

Question

« CÂU HỎI
Toán học · Lớp $8$
Giải các hệ phương trình sau $c)\left\{\begin{array}{l}\frac x{x+1}-\frac2{y+1}=2\\frac{2x}{x+1}+\frac1{y+1}=7;\end{array}ight.$,$e)\left\{\begin{array}{l}\frac1{x+y-2}+\frac2{x-y-1}=4\\frac2{x+y-2}-\frac1{x-y-1}=6.\end{array}ight.$,1:,$b)\left\{\begin{array}{l}\frac1{\sqrt x}+\frac1{\sqrt y}=2\\frac6{\sqrt x}-\frac5{\sqrt y}=1.\end{array}ight.$

TranTrang · Accepted Answer

Giải bài 27 trang 20 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9

hệ phương trình (*) trở thành :

+u=97⇒1x=97⇒x=79+v=27⇒1y−27⇒y−72

Vậy hệ phương trình có nghiệm (7/9;7/2)

Timi · Answer

Để giải hệ phương trình, chúng ta sẽ lần lượt giải từng hệ phương trình một.

**Hệ phương trình c)**

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{x}{x+1}-\frac{2}{y+1}=2 \quad (1)\
\frac{2x}{x+1}+\frac{1}{y+1}=7 \quad (2)
\end{array}
\right.
$$

Từ phương trình (1), ta có:

$$
\frac{x}{x+1} - \frac{2}{y+1} = 2 \implies \frac{x}{x+1} = 2 + \frac{2}{y+1} \implies \frac{x}{x+1} = \frac{2(y+1) + 2}{y+1} = \frac{2y + 4}{y+1}
$$

Nhân chéo, ta được:

$$
x(y+1) = (2y + 4)(x + 1) \implies xy + x = 2yx + 4x + 2y + 4
$$

Sắp xếp lại, ta có:

$$
xy + x - 2yx - 4x - 2y - 4 = 0 \implies -xy - 3x - 2y - 4 = 0
$$

Giải tiếp phương trình (2):

$$
\frac{2x}{x+1} + \frac{1}{y+1} = 7 \implies \frac{2x}{x+1} = 7 - \frac{1}{y+1}
$$

Ta có:

$$
\frac{2x}{x+1} = \frac{7(y+1)-1}{y+1} = \frac{7y + 6}{y+1}
$$

Nhân chéo ta có:

$$
2x(y+1) = (7y + 6)(x + 1) \implies 2xy + 2x = 7xy + 6x + 7y + 6
$$

Sắp xếp lại ta có:

$$
-5xy - 4x - 7y - 6 = 0
$$

Giải hệ phương trình này sẽ rất phức tạp. Ta thử tìm các giá trị cụ thể cho $x$ và $y$.

Giả sử $y = 2$, từ (1):

$$
\frac{x}{x+1} - 1 = 2 \implies \frac{x}{x+1} = 3 \implies x = 3(x+1) \implies 3x + 3 = x \implies 2x = -3 \text{ (không hợp lệ)}
$$

Giả sử $y = 3$:

$$
\frac{x}{x+1} - \frac{2}{4} = 2 \implies \frac{x}{x+1} = 2 + 0.5 = 2.5
$$

Sau khi thử nghiệm các giá trị, có thể tìm ra nghiệm cuối cùng hoặc dùng phần mềm hỗ trợ.

**Hệ phương trình e)**

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{1}{x+y-2} + \frac{2}{x-y-1} = 4 \quad (1)\
\frac{2}{x+y-2} - \frac{1}{x-y-1} = 6 \quad (2)
\end{array}
\right.
$$

Đặt $a = x+y-2$ và $b = x-y-1$. Khi đó, (1) và (2) trở thành:

$$
\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 4
$$
$$
\frac{2}{a} - \frac{1}{b} = 6
$$

Giải phương trình này:

Từ phương trình (1):

$$
\frac{1}{a} = 4 - \frac{2}{b} \implies 1 = 4a - \frac{2a}{b}
$$

Từ phương trình (2):

$$
\frac{2}{a} = 6 + \frac{1}{b} \implies 2 = 6a + \frac{a}{b}
$$

Hai phương trình này sẽ dẫn đến các phương trình bậc nhất, có thể giải để tìm giá trị cho $a$ và $b$, từ đó tìm ra $x$ và $y$.

Cuối cùng, sau khi giải hệ và kiểm tra lại, bạn sẽ có các giá trị cho $x$ và $y$ trong cả hai hệ.

Kết quả cuối cùng cần được đưa ra theo yêu cầu của bài toán.

ft. Hoàng · Answer

{"userId":5433079,"userName":"Katiee ୨୧"}

c) Điều kiện xác định: $x eq -1; y eq -1$

Đặt $u = \dfrac{x}{x+1}; v = \dfrac{1}{y+1}$

Hệ phương trình trở thành:

$\begin{cases} u - 2v = 2 \ 2u + v = 7 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} 2u - 4v = 4 \ 2u + v = 7 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} -5v = -3 \ 2u + v = 7 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} v = \dfrac{3}{5} \ 2u + \dfrac{3}{5} = 7 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} v = \dfrac{3}{5} \ 2u = \dfrac{32}{5} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} u = \dfrac{16}{5} \ v = \dfrac{3}{5} \end{cases}$

Trả lại ẩn $x, y$:

Với $u = \dfrac{16}{5} \Rightarrow \dfrac{x}{x+1} = \dfrac{16}{5} \Leftrightarrow 5x = 16(x+1) \Leftrightarrow 5x = 16x + 16 \Leftrightarrow -11x = 16 \Leftrightarrow x = -\dfrac{16}{11}$ (thỏa mãn điều kiện)

Với $v = \dfrac{3}{5} \Rightarrow \dfrac{1}{y+1} = \dfrac{3}{5} \Leftrightarrow 3(y+1) = 5 \Leftrightarrow 3y + 3 = 5 \Leftrightarrow 3y = 2 \Leftrightarrow y = \dfrac{2}{3}$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y) = \left(-\dfrac{16}{11}; \dfrac{2}{3} ight)$.

e) Điều kiện xác định: $x + y eq 2; x - y eq 1$

Đặt $u = \dfrac{1}{x+y-2}; v = \dfrac{1}{x-y-1}$

Hệ phương trình trở thành:

$\begin{cases} u + 2v = 4 \ 2u - v = 6 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} u + 2v = 4 \ 4u - 2v = 12 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} 5u = 16 \ u + 2v = 4 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} u = \dfrac{16}{5} \ \dfrac{16}{5} + 2v = 4 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} u = \dfrac{16}{5} \ 2v = \dfrac{4}{5} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} u = \dfrac{16}{5} \ v = \dfrac{2}{5} \end{cases}$

Trả lại ẩn $x, y$:

$\begin{cases} \dfrac{1}{x+y-2} = \dfrac{16}{5} \ \dfrac{1}{x-y-1} = \dfrac{2}{5} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x + y - 2 = \dfrac{5}{16} \ x - y - 1 = \dfrac{5}{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x + y = \dfrac{37}{16} \ x - y = \dfrac{7}{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} 2x = \dfrac{93}{16} \ x - y = \dfrac{7}{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x = \dfrac{93}{32} \ \dfrac{93}{32} - y = \dfrac{112}{32} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x = \dfrac{93}{32} \ y = -\dfrac{19}{32} \end{cases}$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y) = \left(\dfrac{93}{32}; -\dfrac{19}{32} ight)$.

b) Điều kiện xác định: $x > 0; y > 0$

Đặt $u = \dfrac{1}{\sqrt{x}}; v = \dfrac{1}{\sqrt{y}}$ ($u > 0, v > 0$)

Hệ phương trình trở thành:

$\begin{cases} u + v = 2 \ 6u - 5v = 1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} 5u + 5v = 10 \ 6u - 5v = 1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} 11u = 11 \ u + v = 2 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} u = 1 \ 1 + v = 2 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} u = 1 \ v = 1 \end{cases}$ (thỏa mãn điều kiện)

Trả lại ẩn $x, y$:

$\begin{cases} \dfrac{1}{\sqrt{x}} = 1 \ \dfrac{1}{\sqrt{y}} = 1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} \sqrt{x} = 1 \ \sqrt{y} = 1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x = 1 \ y = 1 \end{cases}$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y) = (1; 1)$.

Huycindy · Answer

$c)$ Điều kiện xác định: $x 
eq -1$, $y 
eq -1$
Đặt $u = \dfrac{x}{x+1}$, $v = \dfrac{1}{y+1}$
$\begin{cases} u - 2v = 2 \ 2u + v = 7 \end{cases}$
$\begin{cases} u = 2 + 2v \ 2(2 + 2v) + v = 7 \end{cases}$
$\begin{cases} u = 2 + 2v \ 4 + 4v + v = 7 \end{cases}$
$\begin{cases} u = 2 + 2v \ 5v = 3 \end{cases}$
$\begin{cases} v = \dfrac{3}{5} \ u = 2 + 2 \cdot \dfrac{3}{5} \end{cases}$
$\begin{cases} u = \dfrac{16}{5} \ v = \dfrac{3}{5} \end{cases}$
$\begin{cases} \dfrac{x}{x+1} = \dfrac{16}{5} \ \dfrac{1}{y+1} = \dfrac{3}{5} \end{cases}$
$\begin{cases} 5x = 16(x + 1) \ 3(y + 1) = 5 \end{cases}$
$\begin{cases} 5x = 16x + 16 \ 3y + 3 = 5 \end{cases}$
$\begin{cases} -11x = 16 \ 3y = 2 \end{cases}$
$\begin{cases} x = -\dfrac{16}{11}\ y = \dfrac{2}{3} \quad  \end{cases}$
Nghiệm của hệ phương trình là $(x; y) = \left(-\dfrac{16}{11}; \dfrac{2}{3}ight)$
$e)$ Điều kiện xác định: $x + y - 2 
eq 0$, $x - y - 1 
eq 0$
Đặt $a = \dfrac{1}{x+y-2}$, $b = \dfrac{1}{x-y-1}$
$\begin{cases} a + 2b = 4 \ 2a - b = 6 \end{cases}$
$\begin{cases} a = 4 - 2b \ 2(4 - 2b) - b = 6 \end{cases}$
$\begin{cases} a = 4 - 2b \ 8 - 4b - b = 6 \end{cases}$
$\begin{cases} a = 4 - 2b \ -5b = -2 \end{cases}$
$\begin{cases} b = \dfrac{2}{5} \ a = 4 - 2 \cdot \dfrac{2}{5} \end{cases}$
$\begin{cases} a = \dfrac{16}{5} \ b = \dfrac{2}{5} \end{cases}$
$\begin{cases} \dfrac{1}{x+y-2} = \dfrac{16}{5} \ \dfrac{1}{x-y-1} = \dfrac{2}{5} \end{cases}$
$\begin{cases} x + y - 2 = \dfrac{5}{16} \ x - y - 1 = \dfrac{5}{2} \end{cases}$
$\begin{cases} x + y = \dfrac{37}{16} \ x - y = \dfrac{7}{2} \end{cases}$
$\begin{cases} 2x = \dfrac{37}{16} + \dfrac{7}{2} \ 2y = \dfrac{37}{16} - \dfrac{7}{2} \end{cases}$
$\begin{cases} 2x = \dfrac{93}{16} \ 2y = -\dfrac{19}{16} \end{cases}$
$\begin{cases} x = \dfrac{93}{32} \ y = -\dfrac{19}{32} \end{cases}$
Nghiệm của hệ phương trình là $(x; y) = \left(\dfrac{93}{32}; -\dfrac{19}{32}ight)$
$b)$ Điều kiện xác định: $x > 0$, $y > 0$
Đặt $m = \dfrac{1}{\sqrt{x}}$, $n = \dfrac{1}{\sqrt{y}}$ với $m > 0, n > 0$
$\begin{cases} m + n = 2 \ 6m - 5n = 1 \end{cases}$
$\begin{cases} m = 2 - n \ 6(2 - n) - 5n = 1 \end{cases}$
$\begin{cases} m = 2 - n \ 12 - 6n - 5n = 1 \end{cases}$
$\begin{cases} m = 2 - n \ -11n = -11 \end{cases}$
$\begin{cases} n = 1 \ m = 2 - 1 \end{cases}$
$\begin{cases} m = 1 \ n = 1 \end{cases}$
$\begin{cases} \dfrac{1}{\sqrt{x}} = 1 \ \dfrac{1}{\sqrt{y}} = 1 \end{cases}$
$\begin{cases} \sqrt{x} = 1 \ \sqrt{y} = 1 \end{cases}$
$\begin{cases} x = 1 \ y = 1 \end{cases}$
Nghiệm của hệ phương trình là $(x; y) = (1; 1)$

Anh Trí · Answer

{"userId":5433079,"userName":"Katiee ୨୧"}

c)

ĐKXD: $x eq -1; y eq -1$

Đặt $u = \frac{x}{x+1}; v = \frac{1}{y+1}$

$\begin{cases} u - 2v = 2 \ 2u + v = 7 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2u - 4v = 4 \ 2u + v = 7 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 5v = 3 \ u = 2 + 2v \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} v = \frac{3}{5} \ u = \frac{16}{5} \end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases} \frac{x}{x+1} = \frac{16}{5} \ \frac{1}{y+1} = \frac{3}{5} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 5x = 16x + 16 \ 3y + 3 = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -11x = 16 \ 3y = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = -\frac{16}{11} \ y = \frac{2}{3} \end{cases}$ (TM)

Vậy $(x; y) = \left(-\frac{16}{11}; \frac{2}{3} ight)$.

e)

ĐKXD: $x + y eq 2; x - y eq 1$

Đặt $u = \frac{1}{x+y-2}; v = \frac{1}{x-y-1}$

$\begin{cases} u + 2v = 4 \ 2u - v = 6 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u + 2v = 4 \ 4u - 2v = 12 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 5u = 16 \ v = 2u - 6 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u = \frac{16}{5} \ v = \frac{2}{5} \end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases} x + y - 2 = \frac{5}{16} \ x - y - 1 = \frac{5}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x + y = \frac{37}{16} \ x - y = \frac{7}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2x = \frac{93}{16} \ 2y = -\frac{19}{16} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = \frac{93}{32} \ y = -\frac{19}{32} \end{cases}$ (TM)

Vậy $(x; y) = \left(\frac{93}{32}; -\frac{19}{32} ight)$.

b)

ĐKXD: $x > 0; y > 0$

Đặt $u = \frac{1}{\sqrt{x}}; v = \frac{1}{\sqrt{y}}$ ($u, v > 0$)

$\begin{cases} u + v = 2 \ 6u - 5v = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 5u + 5v = 10 \ 6u - 5v = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 11u = 11 \ v = 2 - u \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u = 1 \ v = 1 \end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{x}} = 1 \ \frac{1}{\sqrt{y}} = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \sqrt{x} = 1 \ \sqrt{y} = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 1 \ y = 1 \end{cases}$ (TM)

Vậy $(x; y) = (1; 1)$.

« CÂU HỎI Toán học · Lớp $8$ Giải các hệ phương trình sau