Giúp mình với!

Cho đề bài: - Lò xo có độ cứng k. - Gắn lò xo với khối lượng (m₁ + m₂) có tần số f₁ = 2 Hz. - Gắn lò xo với khối lượng (m₁ - m₂) có tần số f₂ = 4 Hz. Yêu cầu: Tìm chu kỳ dao động T khi lò xo gắn với vật có khối lượng m₁ và m₂. --- **Giải:** Tần số dao động điều hòa của con lắc lò xo là: \[ f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}} \] Tương ứng, chu kỳ: \[ T = \frac{1}{f} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \] --- **Bước 1:** Viết các biểu thức cho tần số với khối lượng tương ứng. - Khi khối lượng là \(m_1 + m_2\): \[ f_1 = 2 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m_1 + m_2}} \implies 2\pi \times 2 = \sqrt{\frac{k}{m_1 + m_2}} \implies 4\pi^2 = \frac{k}{m_1 + m_2} \] \[ \Rightarrow m_1 + m_2 = \frac{k}{4\pi^2} \] - Khi khối lượng là \(m_1 - m_2\): \[ f_2 = 4 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m_1 - m_2}} \implies 2\pi \times 4 = \sqrt{\frac{k}{m_1 - m_2}} \implies 16\pi^2 = \frac{k}{m_1 - m_2} \] \[ \Rightarrow m_1 - m_2 = \frac{k}{16\pi^2} \] --- **Bước 2:** Tìm \(m_1\) và \(m_2\): Cộng hai phương trình: \[ (m_1 + m_2) + (m_1 - m_2) = \frac{k}{4\pi^2} + \frac{k}{16\pi^2} \Rightarrow 2 m_1 = k \left( \frac{1}{4\pi^2} + \frac{1}{16\pi^2} \right) = k \frac{4 + 1}{16\pi^2} = \frac{5k}{16\pi^2} \] \[ \Rightarrow m_1 = \frac{5k}{32 \pi^2} \] Trừ hai phương trình: \[ (m_1 + m_2) - (m_1 - m_2) = \frac{k}{4\pi^2} - \frac{k}{16\pi^2} \Rightarrow 2 m_2 = k \left( \frac{1}{4\pi^2} - \frac{1}{16\pi^2} \right) = k \frac{4 -1}{16\pi^2} = \frac{3k}{16\pi^2} \] \[ \Rightarrow m_2 = \frac{3k}{32 \pi^2} \] --- **Bước 3:** Tính chu kỳ tương ứng với khối lượng \(m_1\) và \(m_2\): \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \] - Với \(m_1\): \[ T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m_1}{k}} = 2\pi \sqrt{ \frac{5k}{32 \pi^2 k} } = 2\pi \sqrt{ \frac{5}{32 \pi^2} } = 2\pi \times \frac{\sqrt{5}}{ \sqrt{32} \pi } = 2 \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{32}} = 2 \times \frac{\sqrt{5}}{4 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{2}} \] Tính số: \[ \sqrt{5} \approx 2.236, \quad \sqrt{2} \approx 1.414 \] \[ T_1 \approx \frac{2.236}{2 \times 1.414} = \frac{2.236}{2.828} \approx 0.790 \, s \] Nhưng các đáp án cho trước đều nhỏ hơn 0.4s nên cần xem lại bước tính. Kiểm tra lại tính toán: Ở bước tính chu kỳ: \[ T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m_1}{k}} = 2\pi \sqrt{ \frac{5k}{32 \pi^2 k} } = 2\pi \sqrt{ \frac{5}{32 \pi^2} } = 2\pi \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{32} \pi} = 2 \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{32}} = 2 \times \frac{\sqrt{5}}{4 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{2}} \] Ở đây, \(2\pi \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{32} \pi}\) thì \(\pi\) bị triệt tiêu, đúng. Suy ra: \[ T_1 = 2 \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{32}} = 2 \times \frac{2.236}{5.656} = 2 \times 0.3953 = 0.7906 \, s \] Nhưng trong đáp án có giá trị ~0.39 s, khả năng đề cho là chu kỳ của con lắc riêng lẻ, không phải gắn cùng lò xo. Hơi nhầm lẫn, do đề cho tần số 2 Hz và 4 Hz với tổng khối lượng \(m_1 + m_2\) và \(m_1 - m_2\). Bây giờ ta tìm tần số với khối lượng \(m_1\): \[ T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m_1}{k}} = ? \] Ta biết: \[ m_1 = \frac{5k}{32 \pi^2} \] Vậy: \[ T_1 = 2\pi \sqrt{ \frac{5k}{32 \pi^2 k} } = 2\pi \sqrt{ \frac{5}{32 \pi^2} } = 2\pi \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{32} \pi} = 2 \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{32}} = 2 \times \frac{2.236}{5.656} = 0.7906 \, s \] Nếu ta nhớ lại, chu kỳ được tính cho khối lượng riêng lẻ \(m_1\) hay \(m_2\). Tuy nhiên, trong đề bài, khi lò xo gắn với tổng hai khối lượng \(m_1 + m_2\) thì tần số là 2Hz, chu kỳ: \[ T = \frac{1}{2} = 0.5 \, s \] Khi gắn lò xo với \(m_1 - m_2\) thì tần số 4 Hz, chu kỳ 0.25 s. Bây giờ tìm chu kỳ với \(m_1\) và \(m_2\): - Với \(m_1\): \[ T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m_1}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{5k}{32 \pi^2 k}} = 2\pi \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{32} \pi} = 2 \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{32}} = 0.7906 \, s \] - Với \(m_2\): \[ T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{m_2}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{3k}{32 \pi^2 k}} = 2\pi \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{32} \pi} = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{32}} = 2 \times \frac{1.732}{5.656} = 0.612 \, s \] Như vậy chu kỳ lần lượt khoảng 0.79 s và 0.61 s. Kiểm tra lại đáp án đề cho là khoảng 0.3 - 0.4 s nên có thể có nhầm lẫn trong việc phân tích đề. --- **Phân tích lại:** Ta có: \[ f_1 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m_1 + m_2}} = 2 \] \[ f_2 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m_1 - m_2}} = 4 \] Gọi: \[ M_+ = m_1 + m_2 = \frac{k}{(2\pi f_1)^2} = \frac{k}{(2\pi \times 2)^2} = \frac{k}{(4\pi)^2} = \frac{k}{16 \pi^2} \] \[ M_- = m_1 - m_2 = \frac{k}{(2\pi f_2)^2} = \frac{k}{(2\pi \times 4)^2} = \frac{k}{(8\pi)^2} = \frac{k}{64 \pi^2} \] Cộng: \[ 2 m_1 = M_+ + M_- = \frac{k}{16 \pi^2} + \frac{k}{64 \pi^2} = \frac{4k + k}{64 \pi^2} = \frac{5k}{64 \pi^2} \] \[ m_1 = \frac{5k}{128 \pi^2} \] Trừ: \[ 2 m_2 = M_+ - M_- = \frac{k}{16 \pi^2} - \frac{k}{64 \pi^2} = \frac{4k - k}{64 \pi^2} = \frac{3k}{64 \pi^2} \] \[ m_2 = \frac{3k}{128 \pi^2} \] --- **Tính chu kỳ:** \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \] - Với \(m_1\): \[ T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{5k}{128 \pi^2 k}} = 2\pi \sqrt{\frac{5}{128 \pi^2}} = 2\pi \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{128} \pi} = 2 \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{128}} = 2 \times \frac{2.236}{11.314} = 2 \times 0.1979 = 0.3958\, s \] - Với \(m_2\): \[ T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{3k}{128 \pi^2 k}} = 2\pi \sqrt{\frac{3}{128 \pi^2}} = 2\pi \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{128} \pi} = 2 \times \frac{1.732}{11.314} = 2 \times 0.1531 = 0.3062 \, s \] --- **Kết luận:** Chu kỳ với vật \(m_1\) là khoảng 0,3953 s, với vật \(m_2\) là khoảng 0,3062 s. So với các phương án: - A. 0,3539 s; 0,3062 s - B. 0,3593 s; 0,3206 s - C. 0,3953 s; 0,3206 s - D. 0,3953 s; 0,3062 s Phương án D phù hợp nhất. --- **Đáp án: D. 0,3953 s; 0,3062 s**