1, Giải hệ phương trình: $\begin{cases}x^3 - y^3 = 3x - 3y\text{ (1)}\\x^2 + y^2 = 4\text{ (2)}\end{cases}$

Để giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} x^3 - y^3 = 3x - 3y \text{ (1)}\\ x^2 + y^2 = 4 \text{ (2)} \end{cases} \] Chúng ta bắt đầu với phương trình (1). Sử dụng công thức hiệu lập phương, ta có: \[ x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) \] Thay vào phương trình (1): \[ (x - y)(x^2 + xy + y^2) = 3(x - y) \] Nếu \( x \neq y \), ta có thể chia cả hai bên cho \( x - y \): \[ x^2 + xy + y^2 = 3 \] Nếu \( x = y \), từ phương trình (2) ta có: \[ 2x^2 = 4 \implies x^2 = 2 \implies x = \sqrt{2} \text{ hoặc } x = -\sqrt{2} \] Vì \( x = y \), ta có các nghiệm: 1. \( (x, y) = (\sqrt{2}, \sqrt{2}) \) 2. \( (x, y) = (-\sqrt{2}, -\sqrt{2}) \) Bây giờ, trở lại trường hợp \( x \neq y \) với phương trình mới: \[ x^2 + xy + y^2 = 3 \] Sử dụng phương trình (2): \[ x^2 + y^2 = 4 \implies xy = 3 - (x^2 + y^2) = 3 - 4 = -1 \] Từ đó, ta có: \[ x^2 + y^2 = 4 \quad \text{và} \quad xy = -1 \] Ta sử dụng hệ số để tạo ra một phương trình bậc hai: \[ t^2 - (x+y)t + xy = 0 \] Với \( x+y = s \) và \( xy = -1 \), ta có: \[ s^2 - 2(-1) = 4 \implies s^2 + 2 = 4 \implies s^2 = 2 \implies s = \sqrt{2} \text{ hoặc } s = -\sqrt{2} \] Sử dụng giá trị này để tìm \( x \) và \( y \): \[ t^2 - st - 1 = 0 \] Với \( s = \sqrt{2} \): \[ t^2 - \sqrt{2}t - 1 = 0 \] Áp dụng công thức nghiệm: \[ t = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 4}}{2} = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 + 4}}{2} = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{6}}{2} \] Kết quả cho \( t \) là: 1. \( x = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}, y = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{2} \) 2. Hoặc \( x = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{2}, y = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2} \) Với \( s = -\sqrt{2} \): \[ t^2 + \sqrt{2}t - 1 = 0 \] Áp dụng công thức nghiệm: \[ t = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{2 + 4}}{2} = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{6}}{2} \] Tổng hợp lại, ta có 4 nghiệm cho hệ phương trình: 1. \( (\sqrt{2}, \sqrt{2}) \) 2. \( (-\sqrt{2}, -\sqrt{2}) \) 3. \( \left(\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{2}\right) \) 4. \( \left(\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}\right) \) Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \[ \boxed{(\sqrt{2}, \sqrt{2}), (-\sqrt{2}, -\sqrt{2}), \left(\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{2}\right), \left(\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}\right)} \]